Integrable Systems

可積分系とは何なのだろうか。と, 思う人はたくさんいるようで, Gil Kalai による “What is an integrable system?” という MathOverflow の質問は高く評価されている。

どうやら漠然と, ある class の dynamical system を可積分系と呼ぶようで, 数学的にきちんと定義するのは難しいようである。 なるべくたくさん例を見るのがよいのだろう。

• KdV および KP方程式
• Toda lattice equation

Toda lattice を一般化し, semisimple Lie algebra に対する Toda lattice が定義されている。Casian と Kodama の [CK06] では, Bogoyavlensky の [Bog76] と Kostant の [Kos79] が参照されている。

Casian と Kodama [CK06] は, Toda lattice とその Lie algebra の flag manifold の cohomology の関係について述べたものである。 また [CK] では, その類似として, KP方程式 と real Grassmann多様体のコホモロジーの関係について述べている。

Varchenko [Var11] によると, quantum integrable system とは, vector space の上の互いに可換な“興味深い”線形作用素の族のことのようである。 もちろん “quantum” というからには, Karasev [Kar] がいうように, 対応する“classicalな” integrable system が存在するべきだろう。

• quantum integrable system

そして, Varchenko によると, それらの operator の common eigenvalue と eigenvector を求めることが基本的な問題である。そのための方法として Bethe Ansatz という方法がある。

• Bethe Ansatz

Quantum integrable system の例としては, Lie algebra から定義される Gaudin model [Gau76; Gau83] がある。

• Gaudin model

Varchenko [Var11] は, その一般化となる quantum integrable system を, weighted hyperplane arrangement から構成している。

References

[Bog76]

O. I. Bogoyavlensky. “On perturbations of the periodic Toda lattice”. In: Comm. Math. Phys. 51.3 (1976), pp. 201–209.

[CK]

Luis Casian and Yuji Kodama. Cohomology of real Grassmann manifold and KP flow. arXiv: 1011.2134.

[CK06]

Luis Casian and Yuji Kodama. “Toda lattice, cohomology of compact Lie groups and finite Chevalley groups”. In: Invent. Math. 165.1 (2006), pp. 163–208. arXiv: math/0504329. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00222-005-0492-6.

[Gau76]

M. Gaudin. “Diagonalisation d’une classe d’Hamiltoniens de spin”. In: J. Physique 37.10 (1976), pp. 1089–1098.

[Gau83]

Michel Gaudin. La fonction d’onde de Bethe. Collection du Commissariat à l’Énergie Atomique: Série Scientifique. [Collection of the Atomic Energy Commission: Science Series]. Paris: Masson, 1983, pp. xvi+331. isbn: 2-225-79607-6.

[Kar]

M. V. Karasev. Quantum Geometry and Quantum Mechanics of Integrable Systems. arXiv: 0908.2048.

[Kos79]

Bertram Kostant. “The solution to a generalized Toda lattice and representation theory”. In: Adv. in Math. 34.3 (1979), pp. 195–338. url: http://dx.doi.org/10.1016/0001-8708(79)90057-4.

[Var11]

Alexander Varchenko. “Quantum integrable model of an arrangement of hyperplanes”. In: SIGMA Symmetry Integrability Geom. Methods Appl. 7 (2011), Paper 032, 55. arXiv: 1001.4553.