Grassmann 多様体の(コ)ホモロジー

Grassmann多様体 は, 直交群やユニタリ群の分類空間 を近似するので, そのコホモロジーは, 特性類を使うときに必要になる。 例えば, Toda と Mimura の本 [戸三78; MT91] には, 関連した空間のコホモロジーも含めて書いてある。

他にも, Schubert varietyを使う方法がある。 Grassmann多様体のコホモロジーを Schubert variety で表した時, その環構造が問題になる。 古典的には, Schubert variety の intersection の問題であったが, 現在では, Grassmann多様体のコホモロジーを用いて表される。

• Schubert calculus

その起源は, Schubert の仕事 [Sch79] のようであるが, 数多くの研究がある。 Schubert calculus についての survey としては, ちょっと古いが, 例えば, Kleiman と Laksov の [KL72] がある。 Fujita [Fuj] は, Schubert calculus の歴史について, [KST12; KM05; Man01] を参照している。

References

[Fuj]

Naoki Fujita. Schubert calculus from polyhedral parametrizations of Demazure crystals. arXiv: 2008.04599.

[KL72]

S. L. Kleiman and Dan Laksov. “Schubert calculus”. In: Amer. Math. Monthly 79 (1972), pp. 1061–1082. url: https://doi.org/10.2307/2317421.

[KM05]

Allen Knutson and Ezra Miller. “Gröbner geometry of Schubert polynomials”. In: Ann. of Math. (2) 161.3 (2005), pp. 1245–1318. arXiv: math/0110058. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2005.161.1245.

[KST12]

V. A. Kirichenko, E. Yu. Smirnov, and V. A. Timorin. “Schubert calculus and Gelfand-Tsetlin polytopes”. In: Uspekhi Mat. Nauk 67.4(406) (2012), pp. 89–128. arXiv: 1101.0278. url: https://doi.org/10.1070/RM2012v067n04ABEH004804.

[Man01]

Laurent Manivel. Symmetric functions, Schubert polynomials and degeneracy loci. Vol. 6. SMF/AMS Texts and Monographs. Translated from the 1998 French original by John R. Swallow, Cours Spécialisés [Specialized Courses], 3. American Mathematical Society, Providence, RI; Société Mathématique de France, Paris, 2001, pp. viii+167. isbn: 0-8218-2154-7.

[MT91]

Mamoru Mimura and Hirosi Toda. Topology of Lie groups. I, II. Vol. 91. Translations of Mathematical Monographs. Translated from the 1978 Japanese edition by the authors. Providence, RI: American Mathematical Society, 1991, pp. iv+451. isbn: 0-8218-4541-1.

[Sch79]

Hermann Schubert. Kalkül der abzählenden Geometrie. Reprint of the 1879 original, With an introduction by Steven L. Kleiman. Berlin: Springer-Verlag, 1979, p. 349. isbn: 3-540-09233-1.

[戸三78]

戸田宏 and 三村護. リー群の位相(上). Vol. 14-A. 紀伊國屋数学叢書. 東京: 紀伊國屋書店, 1978.