Grassmann多様体

Grassmann多様体は, まず空間 \(\mathrm {BO}\) や \(\mathrm {BU}\) を近似する多様体として重要である。 つまり, \(K\)-theory を 表現するために使える。

よって, そのコホモロジーは, 特性類を考える上でも重要である。

• Grassmann 多様体のコホモロジー

トポロジーのための Grassmann多様体の基礎については, 例えば小松・中岡・菅原の [小中菅67] がある。

\(\mathrm {BU}\) は, 無限次元の Grassmann多様体と思えるわけであるが, 有限次元の多様体で近似しなくても, 直接無限次元の Grassmann多様体を構成することはできる。 例えば, KdV方程式の hierarchy に表われる Sato Grassmannian がそうである。例えば, Segal と Wilson の [SW85] を見るとよい。元の文献は, [Sat81; SS83] であるが。

• Sato Grassmannian

Sato Grassmannian のホモロジー代数的 (?) な一般化を, Previdi [Pre12] が考えている。

他に, 無限次元Grassmann多様体については, Abbondandolo と Majer の [AM09] がある。

Bott periodicity によりホモトピー同値 \(\Omega U\simeq \mathrm {BU}\times \Z \) があるので, \(\Omega U\) を無限次元 Grassmann 多様体の一種だと思ってもよい。 代数幾何学的には, affine Grassmannian あるいは loop Grassmannian という構成がある。Billey と Mitchell の [BM10] にあるように, 代数群 \(G\) に対し projective ind-variety として定義されるが, compact Lie 群の場合 \(\Omega G\) とホモトピー同値となる。

• affine Grassmannian or loop Grassmannian

Lam 達の本 [Lam+14] では, より一般に, \(G\) の maximal compact subgroup を \(K\) とするとき, affine Grassmannian は \(\Omega K\) と弱ホモトピー同値になることが, Quillen の未出版の仕事として挙げられている。

Grassmann多様体については, Plücker 座標を持つことも知っているとよい。 Hartshorn の本 [Har77] にも書いてある。

• Plücker 座標

これは, Grassmann多様体の 射影空間への埋め込みを与えるが, first Chern class

を近似する写像となっている。

Grassmann多様体の部分多様体として, totally nonnegative Grassmannian というものが, Lusztig [Lus98] と Rietsch [Rie99] により考えられている。Postnikov の [Pos] では, planar directed network や cluster algebra などの, 組み合せ論的データとの関係が調べられている。

• total positivity

組み合せ論的類似としては, MacPhersonian とか combinatorial Grassmannian とか matroid Grassmannian と呼ばれるものもある。

• MacPhersonian

References

[AM09]

Alberto Abbondandolo and Pietro Majer. “Infinite dimensional Grassmannians”. In: J. Operator Theory 61.1 (2009), pp. 19–62. arXiv: math/0307192.

[BM10]

Sara C. Billey and Stephen A. Mitchell. “Smooth and palindromic Schubert varieties in affine Grassmannians”. In: J. Algebraic Combin. 31.2 (2010), pp. 169–216. arXiv: 0712.2871. url: https://doi.org/10.1007/s10801-009-0181-4.

[Har77]

Robin Hartshorne. Algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics, No. 52. New York: Springer-Verlag, 1977, pp. xvi+496. isbn: 0-387-90244-9.

[Lam+14]

Thomas Lam et al. \(k\)-Schur functions and affine Schubert calculus. Vol. 33. Fields Institute Monographs. Springer, New York; Fields Institute for Research in Mathematical Sciences, Toronto, ON, 2014, pp. viii+219. isbn: 978-1-4939-0681-9; 978-1-4939-0682-6. arXiv: 1301.3569.

[Lus98]

George Lusztig. “Introduction to total positivity”. In: Positivity in Lie theory: open problems. Vol. 26. De Gruyter Exp. Math. de Gruyter, Berlin, 1998, pp. 133–145.

[Pos]

Alexander Postnikov. Total positivity, Grassmannians, and networks. arXiv: math/0609764.

[Pre12]

Luigi Previdi. “Sato Grassmannians for generalized Tate spaces”. In: Tohoku Math. J. (2) 64.4 (2012), pp. 489–538. arXiv: 1002.4863. url: http://dx.doi.org/10.2748/tmj/1356038976.

[Rie99]

Konstanze Rietsch. “An algebraic cell decomposition of the nonnegative part of a flag variety”. In: J. Algebra 213.1 (1999), pp. 144–154. arXiv: alg-geom/9709035. url: http://dx.doi.org/10.1006/jabr.1998.7665.

[Sat81]

Mikio Sato. “Soliton Equations as Dynamical Systems on a Infinite Dimensional Grassmann Manifolds (Random Systems and Dynamical Systems)”. In: Sūrikaisekikenkyūsho Kōkyūroku 439 (Oct. 1981), pp. 30–46. url: http://hdl.handle.net/2433/102800.

[SS83]

Mikio Sato and Yasuko Sato. “Soliton equations as dynamical systems on infinite-dimensional Grassmann manifold”. In: Nonlinear partial differential equations in applied science (Tokyo, 1982). Vol. 81. North-Holland Math. Stud. North-Holland, Amsterdam, 1983, pp. 259–271.

[SW85]

Graeme Segal and George Wilson. “Loop groups and equations of KdV type”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 61 (1985), pp. 5–65. url: http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1985__61__5_0.

[小中菅67]

小松醇郎, 中岡稔, and 菅原正博. 位相幾何学 I. 東京: 岩波書店, 1967.