曲面上に描かれた graph や quiver

曲面上に quiver を描いた (埋め込んだ) ものを, Grothendieck は, dessin d’enfant と呼んだ。Grothendieck だけでなく, 様々な分野で様々な人が同様のことを考えている。例えば, Lam と Pylyavskyy [LP13] は, 曲面に埋め込まれた quiver のことを, network と呼んでいる。他にも色々な名前がありそうである。

• dessin d’enfant

Dessin d’enfant については, London Mathematical Society の Lecture Notes Series として [Sch94] という本が出ている。Dasbach と Futer と Kalfagianni と Lin と Stoltzfus の [Das+08] では, この本の他に Lando と Zvonkin の [LZ04] が挙げられている。まず Stienstra の [Sti08] の§1を読んでみるとよいかもしれない。

Gareth Jones [Jon20] によると, dessin d’enfant は十分豊かな構造があるようで, 任意の有限群が dessin d’enfant の automorphism group として実現できるようである。 Cañas, Hidalgo, Javier Turiel, Viruel [Cañ+22] は, 任意の可算群が noncompact dessen d’enfant の automorphism group として実現できることを示している。

Lam と Pylyavskyy の [LP13] は, total positivity との関係について調べたものである。以前から, Lindström [Lin73] や Brenti [Bre95] により, total positivity と平面上の quiver との関係は知られていたようであるが。

また, disk の場合の total positivity との関係は Postnikov の仕事 [Pos] による。Postnikov はその中で alternating strand diagram という図式を導入している。その図式は, Bauer, King, Marsh の [BKM16] や Pressland の [Pre22] では, Postnikov diagram と呼ばれている。Baur らは Postnikov diagram から dimer algebra と呼ばれる algebra を定義し, Pressland はその Calabi-Yau 性を調べている。

• Postnikov diagram

もちろん, quiver ではなく graph を描くことも考えられていて, 地図 (map) と呼ばれている。

• map や hypermap

曲面に埋め込まれた graph があると, その regular neighborhood をとって, ribbon graph を作ることができる。逆に ribbon graph は曲面に埋め込まれた graph の regular neighborhood として実現できる。

• グラフの埋め込み
• ribbon graph

Dasbach らの論文は, Jones polynomial と ribbon graph の Bollobás-Riordan polynomial に関するものである。 Bollobás-Riordan polynomial 以外にも, embedded graph や ribbon graph の polynomial invariant は色々考えられている。

• embedded graph に対する polynomial invariant

Riemann-Hilbert problem との関係については, Lárusson と Sadykov の [LS07] がある。

References

[BKM16]

Karin Baur, Alastair D. King, and Bethany R. Marsh. “Dimer models and cluster categories of Grassmannians”. In: Proc. Lond. Math. Soc. (3) 113.2 (2016), pp. 213–260. arXiv: 1309.6524. url: https://doi.org/10.1112/plms/pdw029.

[Bre95]

Francesco Brenti. “Combinatorics and total positivity”. In: J. Combin. Theory Ser. A 71.2 (1995), pp. 175–218. url: http://dx.doi.org/10.1016/0097-3165(95)90000-4.

[Cañ+22]

Alejandro Cañas, Rubén A. Hidalgo, Francisco Javier Turiel, and Antonio Viruel. “Groups as automorphisms of dessins d’enfants”. In: Rev. R. Acad. Cienc. Exactas Fís. Nat. Ser. A Mat. RACSAM 116.4 (2022), Paper No. 160, 9. arXiv: 2108.00900. url: https://doi.org/10.1007/s13398-022-01285-7.

[Das+08]

Oliver T. Dasbach, David Futer, Efstratia Kalfagianni, Xiao-Song Lin, and Neal W. Stoltzfus. “The Jones polynomial and graphs on surfaces”. In: J. Combin. Theory Ser. B 98.2 (2008), pp. 384–399. arXiv: math/0605571. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jctb.2007.08.003.

[Jon20]

Gareth Aneurin Jones. “Automorphism groups of maps, hypermaps and dessins”. In: Art Discrete Appl. Math. 3.1 (2020), Paper No. 1.06, 14. arXiv: 1805.09764. url: https://doi.org/10.26493/2590-9770.1275.e77.

[Lin73]

Bernt Lindström. “On the vector representations of induced matroids”. In: Bull. London Math. Soc. 5 (1973), pp. 85–90. url: https://doi.org/10.1112/blms/5.1.85.

[LP13]

Thomas Lam and Pavlo Pylyavskyy. “Crystals and total positivity on orientable surfaces”. In: Selecta Math. (N.S.) 19.1 (2013), pp. 173–235. arXiv: 1008.1949. url: https://doi.org/10.1007/s00029-012-0094-2.

[LS07]

F. Lárusson and T. Sadykov. “Dessins d’enfants and differential equations”. In: Algebra i Analiz 19.6 (2007), pp. 184–199. arXiv: math.CV/0607773. url: http://dx.doi.org/10.1090/S1061-0022-08-01033-9.

[LZ04]

Sergei K. Lando and Alexander K. Zvonkin. Graphs on surfaces and their applications. Vol. 141. Encyclopaedia of Mathematical Sciences. With an appendix by Don B. Zagier, Low-Dimensional Topology, II. Springer-Verlag, Berlin, 2004, pp. xvi+455. isbn: 3-540-00203-0. url: https://doi.org/10.1007/978-3-540-38361-1.

[Pos]

Alexander Postnikov. Total positivity, Grassmannians, and networks. arXiv: math/0609764.

[Pre22]

Matthew Pressland. “Calabi-Yau properties of Postnikov diagrams”. In: Forum Math. Sigma 10 (2022), Paper No. e56, 31. arXiv: 1912.12475. url: https://doi.org/10.1017/fms.2022.52.

[Sch94]

Leila Schneps, ed. The Grothendieck theory of dessins d’enfants. Vol. 200. London Mathematical Society Lecture Note Series. Papers from the Conference on Dessins d’Enfant held in Luminy, April 19–24, 1993. Cambridge: Cambridge University Press, 1994, pp. iv+368. isbn: 0-521-47821-9. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511569302.

[Sti08]

Jan Stienstra. “Hypergeometric systems in two variables, quivers, dimers and dessins d’enfants”. In: Modular forms and string duality. Vol. 54. Fields Inst. Commun. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2008, pp. 125–161. arXiv: 0711.0464.