Calabi-Yau algebra and Related Topics

Calabi-Yau algebra は Ginzburg [Gin] により考えられた概念である。 その目的は, Calabi-Yau manifold の研究を noncommutative geometry の枠組みに持ってくることだったようである。 Calabi-Yau manifold との関係は, Proposition 3.3.1 に書かれている。

Bocklandt は, [Boc] で, 次元\(3\)の graded Calabi-Yau algebra と quiver の path algebra の関係を調べている。

Frobenius algebra で Calabi-Yau の条件を満たすものとして, Eu と Schedler が [ES09] で Calabi-Yau Frobenius algebra というものを考えている。

• Calabi-Yau Frobenius algebra

Calabi-Yau Hopf algebra というものもある。He と Van Oystaeyen と Zhang [HVZ10] により調べられている。

• Calabi-Yau Hopf algebra

Twisted 版もある。Goodman と Krähmer の論文 [GK] やそこにある参考文献を見るとよい。

• twisted Calabi-Yau algebra

\(A_{\infty }\)-algebra への一般化として, Kontsevich と Takeda と Vlassopoulos [KTV] は, pre-Calabi-Yau algebra というものものを定義している。その many-objectification として, pre-Calabi-Yau category も導入している。

• pre-Calabi-Yau algebra
• pre-Calabi-Yau category

Ralph Cohen と Klang [CK20] は, Calabi-Yau algebra などの概念を spectrum の世界に導入している。

References

[Boc]

Raf Bocklandt. Graded Calabi Yau Algebras of dimension 3. arXiv: math/0603558.

[CK20]

Ralph L. Cohen and Inbar Klang. “Twisted Calabi-Yau ring spectra, string topology, and gauge symmetry”. In: Tunis. J. Math. 2.1 (2020), pp. 147–196. arXiv: 1802.08930. url: https://doi.org/10.2140/tunis.2020.2.147.

[ES09]

Ching-Hwa Eu and Travis Schedler. “Calabi-Yau Frobenius algebras”. In: J. Algebra 321.3 (2009), pp. 774–815. arXiv: 0710.3391. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2008.11.003.

[Gin]

Victor Ginzburg. Calabi-Yau algebras. arXiv: math/0612139.

[GK]

Jake Goodman and Ulrich Kraehmer. Untwisting a twisted Calabi-Yau algebra. arXiv: 1304.0749.

[HVZ10]

Ji-Wei He, Fred Van Oystaeyen, and Yinhuo Zhang. “Cocommutative Calabi-Yau Hopf algebras and deformations”. In: J. Algebra 324.8 (2010), pp. 1921–1939. arXiv: 0906.1911. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2010.06.010.

[KTV]

Maxim Kontsevich, Alex Takeda, and Yiannis Vlassopoulos. Pre-Calabi-Yau algebras and topological quantum field theories. arXiv: 2112.14667.