単体的対象の一般化や変種

ある圏 \(\bm {C}\) における 単体的対象とは, 単に関手 \[ X : \Delta ^{\op } \longrightarrow \bm {C} \] のことだから, 圏 \(\Delta \) を別の small category に変えれば, 様々な一般化や変種を作ることができる。

最もよく使うのは, 単射の成す \(\Delta \) 部分圏 \(\Delta _{\mathrm {inj}}\) だろう。関手 \(\Delta _{\mathrm {inj}}^{\op }\to \category {Set}\) は, \(\Delta \)-set とか semisimplicial set などと呼ばれる。 Simplicial set の定義を face operator だけに限定したものである。

• \(\Delta \)-set あるいは semisimplicial set

\(\Delta \)-set は, \(\Delta \) の morphism を単射なものだけに制限したものであるが, 逆に, \(\Delta \) に morphism を追加することも考えられている。特に, 順序を無視した全ての写像を考えたものを symmetric simplcial set という。 Hackney と Lynd [HL] により, partial group や partial groupoid との関係が発見されている。

• symmetric simplicial set

群に関係したものとしては, crossed simplicial group という構造もある。 単体的対象の一般化というより \(\Delta \) の拡張というべきであり, crossed simplicial group 上の module, あるいは functor, が単体的対象の一般化となるものである。

• crossed simplicial group

単射に制限したものは, tropical curve の moduli space の研究 [CGP21; ACP22] などに現れ, そこでは symmetric \(\Delta \)-complex と呼ばれている。Symmetric semisimplicial set と呼ぶべきだと思うが。

より一般の圏では, Church, Ellenberg, Farb [CEF15] FI-object の概念を導入している。

• FI-object と co-FI-object

次に良く目にするのは, simplicial object の直積などを考えるときに使うものだろう。

• bisimplicial object
• prismatic set
• cubical object

Rourke と Sanderson は, Fenn との rack の分類空間に関する共著 [FRS07] の中で, degeneracy を持たない cubical set を \(\Box \)-set と呼んで用いている。

• \(\Box \)-set

Small category と simplicial set の関係を multicategory へ一般化するために導入されたものとして, dendroidal object がある。 それを更に properad へ一般化するものとして Hackney らの本 [HRY15] で properadic graphical object が導入されている。

• dendroidal object
• properadic graphical object [HRY15]

Cyclic homology のために, Connes [Con83] が導入したのが cyclic object であるが, 関連した構造として, duplicial object がある。Dwyer と Kan により, [DK85] で導入された。 Duplicial object は, 簡単に言えば simplicial object にもう一つ degeneracy を付け加え, cosimplicial object とも思えるようにしたものである。 Cyclic object は duplicial object に relation を付け加えたものと思える。 Garner と Lack と Slevin の [GLS18] でcategory theory の視点から調べられている。

• cyclic object
• duplicial object [DK85]

他には, 以下のようなものがある:

• globular object [Bat98; Fut]
• permutohedaral object [SU04]
• Joyalの \(\Theta _n\)
• involution を持つ simplicial object [Moi20]
• weak simplicial object や weak-pseudo-simplicial object [Prz11; Prz15]
• \(\mathfrak {B}\)-object [SS16]
• necklical object [RS19] や closed necklical object [RS18]
• category of finite strings [Kra23]

Permutohedral object は, その名の通り permutohedron の構造から定義される小圏からの関手として定義される。

Schlichtkrull と Solberg の \(\mathfrak {B}\)-object [SS16] は, braided monoidal category や double loop space の homotopy commutative な構造を rectify するために導入された。

Rodriguez Gonzalezは thesis [Gon; Rod12] で simplicial descent categoryという概念を考えている。幾何学的実現のような functor を持つ simplicial object の圏のようである。

このような様々な variation を統一して扱う方法として, quiver の表現を使うことを Fei が [Fei] で提案している。\(\Delta \), \(\Box \), そして cyclic category \(\Lambda \) を統一して扱えるようで興味深い。

このように定義域の small category を色々取り替えても, ホモトピー圏を取ると多くの場合 CW 複体のホモトピー圏と同値になる。 Cisinski の thesis [Cis06] によると Grothendieck が “Pursuing Stacks” で導入した test category という概念は, そのような小圏の class である。

• test category

他に, higher category theory で使われる simplicial set の variation として, 以下のものがある。

• stratified simplicial set, complicial set, weak complicial set
• oriental
• quasicategory または weak Kan complex

最初の2つについては, Street の [Str87; Str03] や Joyal の [Joy02], そして Verity の [Ver08b; Ver08a; Ver07] が主な文献である。

Simplicial set が singular homology と密接に関係しているように, Borel-Moore homology に対応する simplicial set の類似を考えているのは Luu [Luu] である。

• simplicial controlled set

Enriched category の nerve を定義するために, Lowen と Mertens [LM] は, templicial object の概念を導入している。 正確には, 彼等が定義しようとしているのは, monoidal category の中での quasicategory object であるが。

• templicial object

References

[ACP22]

Daniel Allcock, Daniel Corey, and Sam Payne. “Tropical moduli spaces as symmetric \(\Delta \)-complexes”. In: Bull. Lond. Math. Soc. 54.1 (2022), pp. 193–205. arXiv: 1908.08171. url: https://doi.org/10.1112/blms.12570.

[Bat98]

M. A. Batanin. “Monoidal globular categories as a natural environment for the theory of weak \(n\)-categories”. In: Adv. Math. 136.1 (1998), pp. 39–103. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.1998.1724.

[CEF15]

Thomas Church, Jordan S. Ellenberg, and Benson Farb. “FI-modules and stability for representations of symmetric groups”. In: Duke Math. J. 164.9 (2015), pp. 1833–1910. arXiv: 1204.4533. url: http://dx.doi.org/10.1215/00127094-3120274.

[CGP21]

Melody Chan, Søren Galatius, and Sam Payne. “Tropical curves, graph complexes, and top weight cohomology of \(\cM _{g}\)”. In: J. Amer. Math. Soc. 34.2 (2021), pp. 565–594. arXiv: 1805.10186. url: https://doi.org/10.1090/jams/965.

[Cis06]

Denis-Charles Cisinski. “Les préfaisceaux comme modèles des types d’homotopie”. In: Astérisque 308 (2006), pp. xxiv+390.

[Con83]

Alain Connes. “Cohomologie cyclique et foncteurs \(\mathrm {Ext}^{n}\)”. In: C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 296.23 (1983), pp. 953–958.

[DK85]

W. G. Dwyer and D. M. Kan. “Normalizing the cyclic modules of Connes”. In: Comment. Math. Helv. 60.4 (1985), pp. 582–600. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF02567433.

[Fei]

Jiarui Fei. Categorical Homotopy I. Quivers. arXiv: 1211.5789.

[FRS07]

Roger Fenn, Colin Rourke, and Brian Sanderson. “The rack space”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 359.2 (2007), pp. 701–740. arXiv: math/0304228. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-06-03912-2.

[Fut]

Carl A. Futia. Weak Omega Categories I. arXiv: math/0404216.

[GLS18]

Richard Garner, Stephen Lack, and Paul Slevin. “Hochschild homology, lax codescent, and duplicial structure”. In: Ann. K-Theory 3.1 (2018), pp. 1–31. arXiv: 1510.08925. url: https://doi.org/10.2140/akt.2018.3.1.

[Gon]

Beatriz Rodriguez Gonzalez. Simplicial Descent Categories. arXiv: 0804.2154.

[HL]

Philip Hackney and Justin Lynd. Partial groups as symmetric simplicial sets. arXiv: 2310.01513.

[HRY15]

Philip Hackney, Marcy Robertson, and Donald Yau. Infinity properads and infinity wheeled properads. Vol. 2147. Lecture Notes in Mathematics. Springer, Cham, 2015, pp. xv+358. isbn: 978-3-319-20546-5; 978-3-319-20547-2. arXiv: 1410.6716. url: https://doi.org/10.1007/978-3-319-20547-2.

[Joy02]

A. Joyal. “Quasi-categories and Kan complexes”. In: J. Pure Appl. Algebra 175.1-3 (2002). Special volume celebrating the 70th birthday of Professor Max Kelly, pp. 207–222. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(02)00135-4.

[Kra23]

Henning Krause. “The category of finite strings”. In: Algebr. Comb. 6.3 (2023), pp. 661–676. arXiv: 2109.05745.

[LM]

Wendy Lowen and Arne Mertens. Enriched quasi-categories and the templicial homotopy coherent nerve. arXiv: 2302.02484.

[Luu]

Viêt-Trung Luu. A simplicial model for proper homotopy types. arXiv: 0812.1138.

[Moi20]

Kristian Jonsson Moi. “Equivariant loops on classifying spaces”. In: Algebr. Geom. Topol. 20.5 (2020), pp. 2511–2552. arXiv: 1303.4528. url: https://doi.org/10.2140/agt.2020.20.2511.

[Prz11]

Józef H. Przytycki. “Distributivity versus associativity in the homology theory of algebraic structures”. In: Demonstratio Math. 44.4 (2011), pp. 823–869. arXiv: 1109.4850.

[Prz15]

Józef H. Przytycki. “Knots and distributive homology: from arc colorings to Yang-Baxter homology”. In: New ideas in low dimensional topology. Vol. 56. Ser. Knots Everything. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2015, pp. 413–488. arXiv: 1409.7044. url: http://dx.doi.org/10.1142/9789814630627_0011.

[Rod12]

Beatriz Rodríguez González. “Simplicial descent categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 216.4 (2012), pp. 775–788. arXiv: 0808.3684. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2011.10.003.

[RS18]

Manuel Rivera and Samson Saneblidze. “A combinatorial model for the free loop fibration”. In: Bull. Lond. Math. Soc. 50.6 (2018), pp. 1085–1101. arXiv: 1712.02644. url: https://doi.org/10.1112/blms.12202.

[RS19]

Manuel Rivera and Samson Saneblidze. “A combinatorial model for the path fibration”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 14.2 (2019), pp. 393–410. arXiv: 1706.00983. url: https://doi.org/10.1007/s40062-018-0216-4.

[SS16]

Christian Schlichtkrull and Mirjam Solberg. “Braided injections and double loop spaces”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 368.10 (2016), pp. 7305–7338. arXiv: 1403.1101. url: https://doi.org/10.1090/tran/6614.

[Str03]

Ross Street. “Weak omega-categories”. In: Diagrammatic morphisms and applications (San Francisco, CA, 2000). Vol. 318. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2003, pp. 207–213.

[Str87]

Ross Street. “The algebra of oriented simplexes”. In: J. Pure Appl. Algebra 49.3 (1987), pp. 283–335. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(87)90137-X.

[SU04]

Samson Saneblidze and Ronald Umble. “Diagonals on the permutahedra, multiplihedra and associahedra”. In: Homology Homotopy Appl. 6.1 (2004), pp. 363–411. arXiv: math/0209109. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1139839559.

[Ver07]

Dominic Verity. “Weak complicial sets. II. Nerves of complicial Gray-categories”. In: Categories in algebra, geometry and mathematical physics. Vol. 431. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2007, pp. 441–467. arXiv: math/0604416. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/431/08284.

[Ver08a]

D. R. B. Verity. “Weak complicial sets. I. Basic homotopy theory”. In: Adv. Math. 219.4 (2008), pp. 1081–1149. arXiv: math/0604414. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2008.06.003.

[Ver08b]

Dominic Verity. “Complicial sets characterising the simplicial nerves of strict \(\omega \)-categories”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 193.905 (2008), pp. xvi+184. arXiv: math/0410412.