Small Categories

位相空間の圏や Abel群の圏のように, ホモロジーや ホモトピー群を関手として考えるときに現われる 圏は, object 全体が (よってもちろん morphism 全体も) 集合にならないような大きな圏である。 しかしながら, morphism 全体が集合になるような圏にも重要な用途がある。 そのような圏は小圏 (small category) と呼ばれ, 代数的トポロジーで重要な役割を果している。もちろん, 他の分野でも有用である。

小圏のホモトピー論を目指した本として Richter の [Ric20] があるので, まずはこの本を呼んでみるといいと思う。

• 小圏と位相圏に関する基本的な概念
• 主要な小圏と位相圏の例

代数的トポロジーでは, nerve や分類空間といった構成により, 様々な空間を作るのに用いる。例えば, homotopy limit や homotopy colimit の定義に必要になる。

よって, そのホモトピー型や(コ)ホモロジーを理解することが重要である。

• homotopy theory of small categories
• (co)homologies of small categories
• subdivisions of small categories

一方, monoid の many-objectification とみなすと, 代数的な構造と考えることもできる。よって, その表現なども考えられている。

• group actions on categories
• graded category
• representations of small categories

小圏を扱う際には, より基本的な概念として quiver も知っておいた方がよいだろう。小圏の定義から identity morphism と composition を除いたものである。 Day と Street が [DS04] で述べているように, object の集合を固定した quiver の圏での monoid object が小圏である。また, identity morphism の存在を仮定しないが, 結合的な合成のあるものを Gaucher [Gau03] は flow と呼んでいる。

• quiver
• small category as monoid object
• generalizations and variations of categories

References

[DS04]

Brian Day and Ross Street. “Quantum categories, star autonomy, and quantum groupoids”. In: Galois theory, Hopf algebras, and semiabelian categories. Vol. 43. Fields Inst. Commun. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2004, pp. 187–225. arXiv: math/0301209.

[Gau03]

Philippe Gaucher. “A model category for the homotopy theory of concurrency”. In: Homology Homotopy Appl. 5.1 (2003), pp. 549–599. arXiv: math/0308054. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1139839943.

[Ric20]

Birgit Richter. From categories to homotopy theory. Vol. 188. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, 2020, pp. x+390. isbn: 978-1-108-47962-2. url: https://doi.org/10.1017/9781108855891.