小圏と位相圏に関する基本的な概念

小圏は, 4つのデータから成る: object の集合, morphism の集合, composition, 各objectに対する identity morphism である。 位相圏や, より一般に, ある圏の small category object を定義するためには, 小圏 を object の集合と morphims の集合とそれらの間の structure map の条件として記述しておく必要がある。

• small category \(C\) を objectの集合 \(C_0\) と morphism の集合 \(C_1\) とそれらの間の写像 \[ \begin {split} s & : C_1 \longrightarrow C_0 \\ t & : C_1 \longrightarrow C_0 \\ \circ & : C_1\times _{C_0} C_1 \rarrow {} C_1 \\ 1 & : C_0 \longrightarrow C_1 \end {split} \] に関する条件で記述すること。ここで \(C_1\times _{C_0} C_1\)は 次のfiber productである: \[ \xymatrix { C_1\times _{C_0} C_1 \ar [r] \ar [d] & C_1 \ar [d]^{t} \\ C_1 \ar [r]_{s} & C_0 } \]

このように小圏を表しておけば, structure map \(\circ , s, t, 1\) の連続性により, 位相圏を定義することができる。 そしてより一般に, object や morphism の集合がある構造を持った圏を考えることもできる。 もっともそのためには, Day と Street が [DS04] で書いているように monoid の一般化と考えた方がよい。

• small category as monoid object

つまり small category を積を持つ quiver とみなすわけであるが, quiver に対しては, その表現が良く調べられている。 より一般に small category の表現を考える方が自然である。

• small category \(X\) の Abelian category \(\bm {A}\) での表現とは, 関手 \[ F : X \longrightarrow \bm {A} \] のこと。
• quiver \(Q\) の表現とは, \(Q\) で生成された free small category の表現のこと。

このように考えると, poset や群などのような, small category と見なせる構造を統一して扱えて便利である。 Poset を扱う際には, その incidence algebra が重要であるが, その定義は small category に一般化できる。

• incidence algebra

Bessis は, [Bes] で, 部分的に composition が定義された quiver を germ という名前で呼び, それから生成された free small category を定義している。

• germ とそれから定義された free small category

Small category に対する構成の内, coequalizer については, Bednarczyk らの [BBP99] がある。

Babson と Kozlov は [BK05] で群の作用による poset の quotient を考えるために, loopfree category という概念を導入している。Kozlov の本 [Koz08] では acylic category と呼ばれている。ここでは, acyclic category と呼ぶことにしよう。これは poset と一般の small category の中間に位置する概念として有用な概念に思われる。

• acyclic category

有限 poset を表示する方法として, Hasse diagram がある。そして, object の集合上に rank function が定義される。これを一般化して, 様々な rank 付きの small category が考えられている。

• rank function を持つ small category

各 object の endmorphism が isomorphism しかないものは, EI category と呼ばれている。

• EI category

小圏と poset の関係としては, del Hoyo の [Hoy08] で調べられている barycentric subdivision によるものがある。

• small category の barycentric subdivision は acyclic category
• acyclic category の barycentric subdivision は poset, よって任意の小圏 \(X\) に対し, \(\mathrm {Sd}^2(X)\) は poset になる
• \(BX\) と \(B\mathrm {Sd}(X)\) はホモトピー同値

このように, 小圏を poset の一般化として考え, 組み合せ論の対象とみなすことも最近は多い。 例えば, Leinster は小圏の Möbius関数 を [Lei08] で定義している。Leinster は, 更に小圏の Euler characteristic も定義している。

• 小圏の Möbius 関数
• 小圏の Euler characteristic

圏論的な極限を考えるときは, 小圏はその index category として現れる。その際には filtering という条件は有用である。

• 小圏が, filtering であることの定義 (例えば Bass の [Bas68])

Small category (topological category) を幾何学的対象として扱う際には, 次の構成が重要である。

• small (topological) category \(C\) の nerve \(N_*(C)\)
• small (topological) category \(C\) の 分類空間 \(BC\)

このように, 位相空間や simplicial set と比較できるので, 幾何学的対象とみなすこともできる。特に, 位相空間などで定義された概念の類似が定義できることが多い。

• small category の covering
• small category の基本群

Small category の covering や基本群については, 代数学の研究者により, 古くから調べられてきた。\(k\)-algebra は object 1つの \(k\)-linear category とみなすことができるからである。Bongartz と Gabriel の [BG82], Cibils と Redondo と Solotarの[CRS12] などを見るとよい。それらは \(k\)-linear category で議論しているが, 定義は \(k\)-linear でない場合にも \(\oplus \) を \(\amalg \) に変えればそのまま使える。ただし Cibils と Redondo と Solotar の [CRS12] の intrinsic fundamental group は \(k\)-linear な場合のみ定義される。また, それらの定義は, quiver や relation を持った quiver にも拡張できる。例えば, Le Meur の [Le 07] など。 Leinster の意味の Euler標数や zeta関数の視点から, ramified covering を定義するという試みもある。Noguchi の [Nog14] である。

• small category の ramified covering

ある小圏 \(C\) から小圏の圏への関手 \[ F : C \longrightarrow \category {Cat} \] からは, Grothendieck construction という操作で新しい小圏を作ることができる。 より一般に, (op)lax functor に対してもその定義をそのまま用いることができる。

• Grothendieck construction

Discrete な場合には, small category の分類空間の性質については, Quillen の [Qui73] を見るとよい。そこで用いられている fibered category などの概念は, 元々は, Grothendieck [SGA171] により導入されたものである。

• (pre)fibered category や (pre)cofibered category

References

[Bas68]

Hyman Bass. Algebraic \(K\)-theory. W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1968, pp. xx+762.

[BBP99]

Marek A. Bednarczyk, Andrzej M. Borzyszkowski, and Wieslaw Pawlowski. “Generalized congruences—epimorphisms in \({\scr C}\!at\)”. In: Theory Appl. Categ. 5 (1999), No. 11, 266–280.

[Bes]

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[BG82]

K. Bongartz and P. Gabriel. “Covering spaces in representation-theory”. In: Invent. Math. 65.3 (1981/82), pp. 331–378. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01396624.

[BK05]

Eric Babson and Dmitry N. Kozlov. “Group actions on posets”. In: J. Algebra 285.2 (2005), pp. 439–450. arXiv: math/0310055. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2001.07.002.

[CRS12]

Claude Cibils, María Julia Redondo, and Andrea Solotar. “The intrinsic fundamental group of a linear category”. In: Algebr. Represent. Theory 15.4 (2012), pp. 735–753. arXiv: 0706.2491. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10468-010-9263-1.

[DS04]

Brian Day and Ross Street. “Quantum categories, star autonomy, and quantum groupoids”. In: Galois theory, Hopf algebras, and semiabelian categories. Vol. 43. Fields Inst. Commun. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2004, pp. 187–225. arXiv: math/0301209.

[Hoy08]

Matias L. del Hoyo. “On the subdivision of small categories”. In: Topology Appl. 155.11 (2008), pp. 1189–1200. arXiv: 0707.1718. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.topol.2008.02.006.

[Koz08]

Dmitry Kozlov. Combinatorial algebraic topology. Vol. 21. Algorithms and Computation in Mathematics. Berlin: Springer, 2008, pp. xx+389. isbn: 978-3-540-71961-8. url: https://doi.org/10.1007/978-3-540-71962-5.

[Le 07]

Patrick Le Meur. “The universal cover of an algebra without double bypass”. In: J. Algebra 312.1 (2007), pp. 330–353. arXiv: math/0507513. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2006.10.035.

[Lei08]

Tom Leinster. “The Euler characteristic of a category”. In: Doc. Math. 13 (2008), pp. 21–49. arXiv: math/0610260.

[Nog14]

Kazunori Noguchi. “Ramified coverings of small categories”. In: Homology Homotopy Appl. 16.2 (2014), pp. 159–169. arXiv: 1303.7046. url: http://dx.doi.org/10.4310/HHA.2014.v16.n2.a8.

[Qui73]

Daniel Quillen. “Higher algebraic \(K\)-theory. I”. In: Algebraic \(K\)-theory, I: Higher \(K\)-theories (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Seattle, Wash., 1972). Lecture Notes in Math., Vol. 341. Springer, Berlin, 1973, pp. 85–147.

[SGA171]

A. Grothendieck. Revêtements étales et groupe fondamental. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie 1960–1961 (SGA 1), Dirigé par Alexandre Grothendieck. Augmenté de deux exposés de M. Raynaud, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 224. Berlin: Springer-Verlag, 1971, pp. xxii+447.