EI Categories

各 object の endmorphism が isomorphism しかない small category は, EI category と呼ばれている。 Lück の [Lüc89] や Fiore と Lück と Sauer の [FLS11] などで登場する。

Lück の [Lüc89] は, 変換群に関する本であるが, そこで EI category が登場するのは, 群の orbit category が EI category になるからである。Lück はそこで, Noether 環上の finite EI category 上の module (functor) が Noetherian であることを示している。 それをある種の無限 EI category に拡張したものとして, Gan と Li の [GL15] がある。

群の orbit category を目的としたものとしては, Webb の [Web08] がある。表現がある条件をみたす finite EI category の特徴付けが得られている。 Li [Li11] は, category algebra が hereditary である finite EI category の特徴付けを得ている。また [Li14] では representation type を調べている。

Quiver からは free small category が生成されるが, Li は [Li11] の中で EI quiver と, それにより生成される free EI category の概念を導入している。

• EI quiver

Quiver は様々なものに関係しているが, それらの EI quiver に対する類似を考えている人もいる。例えば, preprojective algebra の EI quiver への拡張については, Hu の [Hu] により考えられている。

References

[FLS11]

Thomas M. Fiore, Wolfgang Lück, and Roman Sauer. “Finiteness obstructions and Euler characteristics of categories”. In: Adv. Math. 226.3 (2011), pp. 2371–2469. arXiv: 0908.3417. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2010.09.013.

[GL15]

Wee Liang Gan and Liping Li. “Noetherian property of infinite EI categories”. In: New York J. Math. 21 (2015), pp. 369–382. arXiv: 1407.8235. url: http://nyjm.albany.edu:8000/j/2015/21_369.html.

[Hu]

Dongdong Hu. The preprojective algebra of a finite EI quiver. arXiv: 2410.15390.

[Li11]

Liping Li. “A characterization of finite EI categories with hereditary category algebras”. In: J. Algebra 345 (2011), pp. 213–241. arXiv: 1103.0959. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2011.07.011.

[Li14]

Liping Li. “On the representation types of category algebras of finite EI categories”. In: J. Algebra 402 (2014), pp. 178–218. arXiv: 1206.3613. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2013.12.009.

[Lüc89]

Wolfgang Lück. Transformation groups and algebraic \(K\)-theory. Vol. 1408. Lecture Notes in Mathematics. Mathematica Gottingensis. Berlin: Springer-Verlag, 1989, pp. xii+443. isbn: 3-540-51846-0.

[Web08]

Peter Webb. “Standard stratifications of EI categories and Alperin’s weight conjecture”. In: J. Algebra 320.12 (2008), pp. 4073–4091. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2006.03.052.