Subdivision of small categories

小圏 と simplicial set の間には良い対応があることから, simplicial complex や simplicial set に対する操作の一般化を, 小圏で行なおうとするのは自然なアイデアである。そのようなものの1つに細分がある。

まず基本的なのは, 重心細分である。

• 小圏の重心細分

del Hoyo [Hoy08] に書かれているように, \(2\)回重心細分すると, どんな圏も poset になる。 より正確には, 1回重心細分すると acyclic category になり, acyclic category の重心細分は poset になる。 小圏の重心細分については, Peter May の note が ここから download できるが, そこでもこの事実は「初めて見たときには mind blowing」 なこととして書いてある。

小圏の細分には, 他にも Segal により [Seg73] で simplicial space に対し使われている edgewise subdivision に対応するものがある。

• 小圏の edgewise subdivision あるいは Segal subdivision

Grayson の algebraic \(K\)-theory に関する lecture note [Gra] によると, edgewise subdivision は Segal の論文に初めて現れたが, アイデアは Quillen によるらしい。Weibel の [Wei01]でも Quillen による, と書かれている。 そのためか, Weibel の本 [Wei13] (Chapter IV Ex.3.9) では Segal subdivision と呼ばれている。 R. Cohen と J.D.S. Jones と G. Segal による Morse homotopy theory [CJS95] や embedding calculus に対する Goodwillie と Klein と Weiss の [GKW03] でも使われている。

小圏の Baues-Wirsching cohomology の係数 (natural system) の定義でも使われるが, そこでは category of factorization と呼ばれている。

最近では twisted arrow category と呼ばれることが多いように思える。 Gálvez-Carrillo と Kock と Tonks の [GKT] ではそう呼ばれているし, 2014年に大連で開催された代数的トポロジーに関する ICM satellite conference と workshop の講演でもその名前が登場した。

この呼び名は Dwyer と Kan の [DK88] で導入されたのだろうか。 nLab のページ によると, Lawvere の [Law70] で twisted morphism category という名前が登場するようなので, これが最初かもしれない。

Lurie の書いたもの, 例えば [Lur] の §5.2.1, では, その \((\infty ,1)\)-category 版が twisted arrow \(\infty \)-category と呼ばれているので, これからは twisted arrow category という名前の方が一般的になっていきそうな気がする。

References

[CJS95]

R. L. Cohen, J. D. S. Jones, and G. B. Segal. “Floer’s infinite-dimensional Morse theory and homotopy theory”. In: The Floer memorial volume. Vol. 133. Progr. Math. Basel: Birkhäuser, 1995, pp. 297–325.

[DK88]

W. G. Dwyer and D. M. Kan. “Hochschild-Mitchell cohomology of simplicial categories and the cohomology of simplicial diagrams of simplicial sets”. In: Nederl. Akad. Wetensch. Indag. Math. 50.2 (1988), pp. 111–120.

[GKT]

Imma Gálvez-Carrillo, Joachim Kock, and Andrew Tonks. Decomposition Spaces, Incidence Algebras and Möbius Inversion. arXiv: 1404.3202.

[GKW03]

Thomas G. Goodwillie, John R. Klein, and Michael S. Weiss. “A Haefliger style description of the embedding calculus tower”. In: Topology 42.3 (2003), pp. 509–524. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(01)00027-1.

[Gra]

Daniel R. Grayson. Algebraic \(K\)-Theory. eprint: \url{http://www.math.uiuc.edu/~dan/Courses/2003/Spring/416/GraysonKtheory.ps}.

[Hoy08]

Matias L. del Hoyo. “On the subdivision of small categories”. In: Topology Appl. 155.11 (2008), pp. 1189–1200. arXiv: 0707.1718. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.topol.2008.02.006.

[Law70]

F. William Lawvere. “Equality in hyperdoctrines and comprehension schema as an adjoint functor”. In: Applications of Categorical Algebra (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XVII, New York, 1968). Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1970, pp. 1–14.

[Lur]

Jacob Lurie. Higher Algebra. url: https://www.math.ias.edu/~lurie/papers/HA.pdf.

[Seg73]

Graeme Segal. “Configuration-spaces and iterated loop-spaces”. In: Invent. Math. 21 (1973), pp. 213–221. url: https://doi.org/10.1007/BF01390197.

[Wei01]

Charles Weibel. “Homotopy ends and Thomason model categories”. In: Selecta Math. (N.S.) 7.4 (2001), pp. 533–564. arXiv: math/ 0106052. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00029-001-8098-3.

[Wei13]

Charles A. Weibel. The \(K\)-book. Vol. 145. Graduate Studies in Mathematics. An introduction to algebraic \(K\)-theory. Providence, RI: American Mathematical Society, 2013, pp. xii+618. isbn: 978-0-8218-9132-2.