Acyclic Categories

Babson と Kozlov は [BK05] で群の作用による poset の quotient を考えるために, loopfree category という概念を導入している。Kozlov の本 [Koz08] では acylic category と呼ばれている。ここでは, acyclic category と呼ぶことにしよう。

• poset の群作用による quotient は acyclic category
• acyclic category の object の集合には morphism があるかどうかで partial order が定義できる

Poset の分類空間が常に単体的複体になるように, acyclic category の分類空間は, 特別な種類のCW複体になる。Kozlov の本では, regular trisp と呼ばれている。

重要な事実として, 任意の small category の重心細分は, acyclic category になるということがある。また, acyclic category の重心細分は poset になる。 よって, どんな small category も2回重心細分すると, poset になる。 証明は, 例えば Noguchi の [Nog11] にある。

重心細分しても分類空間のホモトピー型は変らないので, acyclic category のホモトピー論は, small category や poset のホモトピー論と同値になる。

より正確には, acyclic category の category に Thomason タイプの model structure が入り small category の category と Quillen 同値になる, ということであるが, Bruckner の [Bru] がある。 Cofibrant object については, [BP] で調べられている。

References

[BK05]

Eric Babson and Dmitry N. Kozlov. “Group actions on posets”. In: J. Algebra 285.2 (2005), pp. 439–450. arXiv: math/0310055. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2001.07.002.

[BP]

Roman Bruckner and Christoph Pegel. Cofibrant objects in the Thomason Model Structure. arXiv: 1603.05448.

[Bru]

Roman Bruckner. A Model Structure On The Category Of Small Acyclic Categories. arXiv: 1508.00992.

[Koz08]

Dmitry Kozlov. Combinatorial algebraic topology. Vol. 21. Algorithms and Computation in Mathematics. Berlin: Springer, 2008, pp. xx+389. isbn: 978-3-540-71961-8. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-540-71962-5.

[Nog11]

Kazunori Noguchi. “The Euler characteristic of acyclic categories”. In: Kyushu J. Math. 65.1 (2011), pp. 85–99. arXiv: 1004.2547. url: http://dx.doi.org/10.2206/kyushujm.65.85.