様々な圏の圏の model structure

Small category の category が, simplicial set の category と密接に関係した model structure を持つことを発見したのは, Thomason [Tho80; Cis99] である。以来, 様々な category の category に model structure が構成されている。

まず, small category の category の model structure としては, 次の3つが基本的である。

• small category の category のモデル構造 (weak equivalence は nerve の間の弱ホモトピー同値) [Tho80; Cis99]
• small category の category のモデル構造 (weak equivalence は圏の同値) [JT91; Rez]
• small category の category のモデル構造 (weak equivalence は Morita 同値)

これらは Joyal のページに列挙されている。そこでは, 2番目のものと3番目のものは, natural model structure と Karoubian model structure と呼ばれている, 2番目のものは, Joyal model structure と呼ぶのが普通ではないかと思うが, Rezk も独立に発見しているようなので, Schommer-Pries の blog post のように, canonical model structure と呼ぶ方がいいかもしれない。 3番目のものは, Morita model structure と呼ばれている。

圏同値を weak equivalence とする model structure が Joyal model structure しかない, というのは, Frank と Salch の [FS] に folklore として書かれている。 そこでは, 文献として nLab のページが挙げられている。 Schommer-Pries の blog post に証明があるので, それを見るのが良いと思う。

各種 enriched category へも Morita model structure は一般化されている。

• linear category の category の Morita model structure (Dell’Ambrogio と Tabuada の [DT14a])
• \(C^*\)-category の category の Morita model structure (Dell’Ambrogio と Tabudada の [DT14b])

Small category は, 重心細分を取ると acyclic category になり, 更に重心細分を取ると poset になる。 これらのことから, acyclic category の category や poset の category に small category の category と Quillen equivalent になる model structure が入ると考えるのは自然である。Thomason model structure の場合には, 以下の結果がある。

• poset の category の model structure (Raptis の [Rap10])
• acyclic category の category の model structure (Bruckner の [Bru])

他に目についたものをメモしたのが以下のリストである。

• 有限群 \(G\) の作用を持つ small category の category のモデル構造 [Boh+15], 離散群の作用を持つ poset の category のモデル構造 [MZS17], そして, それらの diagram category への一般化 [Gu]
• \((\infty ,1)\)-group の作用を持つ \((\infty ,1)\)-category (より一般に simplicial space) の category の model structure [Pra15]
• Grothendieck topos のモデル構造 [Cis02] とその Olschok [Ols11] による一般化
• Grothendieck topology を持つ category (site) での internal category の category のモデル構造 [EKV06]
• ある site 上の fibered category のモデル構造 (weak equivalence は local equivalence) [Stab]
• small \(2\)-category や bicategory の category のモデル構造 [Lac02; Wor+07; Lac04; Lac07; Chi15; Ara]
• Ara と Maltsiniotis [AM14] による, [Wor+07] の証明の訂正とその strict \(n\)-category への拡張の試み
• crossed complex の圏のモデル構造 [BG89]
• small double category の category のモデル構造 [FPP08], より一般に small \(n\)-fold category の category のモデル構造 [FP10]
• strict omega category の category のモデル構造 [LMW10]
• small \(C^*\)-category の category のモデル構造 (Dell’Ambrogioの [Del12] や Dell’Ambrogio と Tabuada の [DT14b])
• simplicially enriched small category の category のモデル構造 (Bergnerの [Ber07a])
• simplicial set の category での simplicial object の category のモデル構造 (Horel の [Hor15])
• relative category の category のモデル構造 (Barwick と Kan の [BK12])
• simplicially enriched multicategory の category のモデル構造 (Stanculescu の [Sta14], Cisinski と Moerdijk の [CM13], Robertson の [Rob])
• colored simplicial PROP の category の model structure (Hackney と Robertson の [HR17])
• monoidal model category で enrich された colored PROP の category の model structure (Caviglia の [Cav])
• simplicial module の圏で enrich されたsmall category の category のモデル構造 (Stanculescu の [Staa])
• small category の category の simplicial object の category のモデル構造 (Hinich の [Hin])
• small dg category の category のモデル構造 [Tabb; Toë07; Tab05]
• dg category の localization pair の圏のモデル構造 [Taba]
• small topological category の圏のモデル構造 [Amr15]
• small topological category の simplicial object の圏のモデル構造 [Amr]
• symmetric spectrum の圏で enrich された small category の圏のモデル構造 [Tab09]
• Segal category のモデル構造 [HS; TV; Ber07c]
• simplicial monoid の圏のモデル構造 [Ber07b]
• \(2\)-theory の圏のモデル構造 [Yan01]
• pro-category の圏のモデル構造 [Isa04]
• Joyal の \(\Theta _n\) 上の simplicial presheaf の圏のモデル構造 [Rez10]
• Gray-category の圏のモデル構造 [Lac11]
• \((\infty ,n)\)-category の category のモデル構造 [Sim; Sim12]

もちろん, これらの圏の間には様々な関係があり, モデル構造も関係している。 例えば, Brown と Glasinski の crossed complex の category の model structure と strict \(\omega \)-category の Lafont らによる model structure の関係は, Ara と Metayer の [AM11] で調べられている。

Berger と Moerdijk [BM13] は, 一般に monoidal model category で enrich された category の category の model structure を考えている。

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