各種単体的対象

単体的集合の概念は, 自然に集合以外の圏 \(\bm {C}\) に拡張され, 圏 \(\bm {C}\) における単体的対象という概念を得る。

重要な例として, 以下のものがある。

• simplicial group と simplicial monoid
• simplicial Abelian group
• simplicial space
• simplicial set の圏の simplicial object, つまり bisimplicial set

Simplicial monoid については, Bergner の [Ber07] で調べられている。

このように, “simplicial 何とか” というのは, 普通は“何とか”の圏における simplicial object のことを言う。ただし, simplicial category とは category の category での simplicial object のことではなく, simplicial setで enrich された category として定義される。 Object の集合 \(S\) をfixした simplicial category は, object の集合が \(S\) である small category の category での simplicial object とみなすことはできるが。

また, 組み合せ論で使われる simplicial poset も poset の category での simplicial object という意味ではないので, 気をつけないといけない。 Simplicial complex の face poset に似た性質を持つ poset という意味である。

一般に, 単体的対象は, monad から構成されることも多い。

• monad からの単体的対象の構成

重要な例として, bar construction がある。

単体的対象は, 代数的トポロジー以外の分野でも使われている。例えば, 代数幾何学では, Deligne の [Del74] や Friedlander の本 [Fri82] などで使われている simplicial scheme や Jardine の [Jar87; Jar96] で調べられている simplicial (pre)sheaf など。

• simplicial scheme の étale homotopy theory
• site 上の simplicial (pre)sheaf

Wendt の [Wen11] は, simplicial sheaf の category は simplicial set の category とよく似ているという視点で書かれている。実際, その視点から simplicial sheaf の category での fibration の分類空間が構成されている。 その視点は, Jardine [Jar87] により一般的になったように思う。 Jardine は simplicial (pre)sheaf の category に model structure を定義している。

この Jardine の仕事は motivic homotopy theory の基礎となるものであるが, 現在では hypercover に関する descent により考えることができる。Hypercover は étale homotopy theory の基礎にもなる simplicial object である。

• hypercover

また, étale homotopy theory などでは, profinite object がよく登場するが, profinite set の圏での simplicial object は, profinite space と呼ばれるようである。 [Qui08; Qui11] など。

Simplicial scheme が使える道具なら simplicial manifold を使う人が現われても不思議ではないが, 寡聞にしてあまり見たことがなかった。Zhu の [Zhu09] を見ると使い道はあるようである。

• simplicial manifold

Felisatti と Neumann の [FN07] によると, Dupont ら [Dup76; DHZ00] により使われているようである。 また, Henriques の [Hen08] では, \(L_{\infty }\)-algebra を積分したもの として使われている。

関手 \(F:\bm {C}\to \bm {D}\) からは, simplicial object の category の間の関手 \[ f^{\Delta ^{\op }} : \bm {C}^{\Delta ^{\op }} \rarrow {} \bm {D}^{\Delta ^{\op }} \] が誘導されるが, これらの simplcial object の category が model category の構造を持つとき, この関手が weak equivalence を保つための \(f\) に関する条件が何か, という問題が Voevodsky の [Voe10] で考えられている。

Simplicial object の一般化や変種については, 次にまとめた。

• (余)単体的対象の一般化や変種

References

[Ber07]

Julia E. Bergner. “Simplicial monoids and Segal categories”. In: Categories in algebra, geometry and mathematical physics. Vol. 431. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2007, pp. 59–83. arXiv: math/0508416.

[Del74]

Pierre Deligne. “Théorie de Hodge. III”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 44 (1974), pp. 5–77. url: http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1974__44__5_0.

[DHZ00]

Johan Dupont, Richard Hain, and Steven Zucker. “Regulators and characteristic classes of flat bundles”. In: The arithmetic and geometry of algebraic cycles (Banff, AB, 1998). Vol. 24. CRM Proc. Lecture Notes. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2000, pp. 47–92.

[Dup76]

Johan L. Dupont. “Simplicial de Rham cohomology and characteristic classes of flat bundles”. In: Topology 15.3 (1976), pp. 233–245.

[FN07]

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[Fri82]

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[Hen08]

André Henriques. “Integrating \(L_{\infty }\)-algebras”. In: Compos. Math. 144.4 (2008), pp. 1017–1045. arXiv: math / 0603563. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0010437X07003405.

[Jar87]

J. F. Jardine. “Simplicial presheaves”. In: J. Pure Appl. Algebra 47.1 (1987), pp. 35–87. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(87)90100-9.

[Jar96]

J. F. Jardine. “Boolean localization, in practice”. In: Doc. Math. 1 (1996), No. 13, 245–275 (electronic).

[Qui08]

Gereon Quick. “Profinite homotopy theory”. In: Doc. Math. 13 (2008), pp. 585–612. arXiv: 0803.4082.

[Qui11]

Gereon Quick. “Continuous group actions on profinite spaces”. In: J. Pure Appl. Algebra 215.5 (2011), pp. 1024–1039. arXiv: 0906.0245. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2010.07.008.

[Voe10]

Vladimir Voevodsky. “Simplicial radditive functors”. In: J. K-Theory 5.2 (2010), pp. 201–244. arXiv: 0805 . 4434. url: http://dx.doi.org/10.1017/is010003026jkt097.

[Wen11]

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[Zhu09]

Chenchang Zhu. “Kan replacement of simplicial manifolds”. In: Lett. Math. Phys. 90.1-3 (2009), pp. 383–405. arXiv: 0812.4150. url: https://doi.org/10.1007/s11005-009-0353-0.