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Lie 群があると, その単位元での tangent space を取ることにより, Lie algebra が得られる。 逆に, Lie algebra
が与えられたとき, 元になっている Lie群を見付けるという問題が考えられる。 これを, tangent space と取ることの逆なので,
積分問題という。
有限次元の Lie algebra に対しては, 必ず対応する Lie 群が存在する。そして単連結であることを仮定すれば,
同型を除いて一意的である。これを Lie’s third theorem と呼ぶらしいが, Lie が証明したのは local な対応であり,
global な対応を示したのは Elie Cartan のようである。現代的に言えば, 有限次元単連結 Lie 群の category
と \(\R \) 上の有限次元 Lie algebra の category が, 単位元での接空間を取るという functor により同値になる,
ということである。
- Lie’s third theorem or Cartan-Lie theorem
有限次元の simple Lie algebra に対しては, 対応する Lie群は具体的に構成されている。 それについては, 横田の本 [横田一90;
横田一92] がある。
より一般的な Lie algebra や, Lie algebra を一般化した代数的構造に対しても, 積分問題は, 様々な人により考えられている。
その際問題になるのは, 対応する幾何学的対象を何と想定するか, である。 例えば, Lie algebroid の場合は, Lie groupoid
が対応しそうであるが, これについては, Crainic と Fernandes [CF03] により obstruction が発見されている。つまり,
Lie algebroid に対応する Lie groupoid が, いつでも存在するとは限らないのである。これについては, 彼等による解説 [CF11]
がある。
そこで, Tseng と Zhu [TZ06] は, 対応するものを Lie groupoid と想定しているのがいけない, と考えた。彼等は,
differentiable stack を用いて Weinstein groupoid の概念を導入し, Lie algebroid に対応するものが
Weistein groupoid であることを示している。
Lie algebra から skew symmetry を除いた Leibniz algebra については, Kinyon [Kin07] の rack
を使うというアイデアがある。
- Leibniz algebra の Lie rack による積分
Kinyon の構成は, Lie algebra に適用しても Lie群の conjugation rack が得られない,
という点で不完全なものである。それを改良する試みとして, Covezの [Cov13], そして Bordemann と Wagemann の
[BW] がある。Bordemann と Wagemann の構成は, functorial ではないが, Lie algebra と
Lie群の対応の拡張になっている。
他のアプローチとしては, Mostovoy の [Mos] もある。 Dherin と Wagemann の [DW15] の前半に
Leibniz algebra の積分問題のことがまとめられているので, まずはそれを見るのがよいだろう。
Leibniz algebroid に対しては, Laurent-Gengoux と Wagemann [LW16] が Lie rackoid
というものを導入し, その tangent algebroid が Leibniz algebroid になることを確かめている。これが Leibniz
algebroid を積分する正しいアプローチなのだろうか。 彼等は, [LW20] では, Courant algebroid の積分問題に対しても
Lie rackoid を使うことを提唱している。
- Leibniz algebroid の Lie rackoid による積分
- Courant algebroid の Lie rackoid による積分
\(L_{\infty }\)-algebra に対して, simplicial な方法で Lie群に対応するものを構成しようというのは, Getzler [Get09]
のアイデアである。Dolgushev と Rogers [DR15] では Hinich の論文 [Hin97] も合せて参照され,
Deligne-Getzler-Hinich groupoid と呼ばれている。 ここで Deligne の名前が入っているのは, dg Lie algebra
に対する Deligne groupoid の構成の一般化になっているからである。
\(L_{\infty }\)-algebra に対して Getlzer が構成したのは, groupoid ではなく Kan complex であるが。 Henriques
[Hen08] は, \(L_{\infty }\)-algebra に対し, Kan complex ではなく Kan condition を満たす simplicial
manifold を構成している。 Filtered \(L_{\infty }\)-algebra に対しては Dolgushev と Rogers [DR15]
が考えている。
Lie \(2\)-algebra に対応するものとしては, 当然 Lie \(2\)-group が考えられている。Wockel の [Woc11] や
Noohi の [Noo13] など。Lie \(2\)-algebra は, \(2\)-term \(L_{\infty }\)-algebra とみなすことができるので, Getzler や
Henriqes の方法で integrate し, 2-truncation を取ることで integration ができる。一方, Lie
\(2\)-algebra は crossed module of Lie algebra とみなすこともできるので, それを crossed module of
Lie group に integrate することもできる。Sheng と Zhu [SZ12] は, この二つの integration
が同じものであることを確かめている。
Chen と Stiénon と Xu の [CSX13] によると, Lie bialgebra と Poisson group
との対応を発見したのは Drinfel\('\)d [Dri83; Dri87] のようである。Chenらは, その対応の \(2\)-category 版, つまり Lie
\(2\)-bialgebra と Poisson \(2\)-group の対応を構成している。
他にも様々な場合が考えられている。以下は, 目についたものを記録したものである。
- complete pre-Lie algebra (Dotsenko と Shadrin と Vallette の [DSV])
- action of strict Lie \(2\)-algebra on NQ-manifold (Zambon と Zhu の [ZZ13])
- Rota-Baxter Lie algebra (Guo と Lang と Sheng の [GLS21])
References
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