L∞-algebra

\(L_{\infty }\)-algebra は, Stasheff により導入された Lie algebra の “ sh (strong homotopy) 版” である。 論文としては, Lada と Stasheff の [LS93] がある。 Lada と Markl [LM95] によると, それより前に, Schlessinger と Stasheff の [SS85] に登場しているらしい。 Schlessinger と Stasheff の仕事は, dg algebra の deformation に関することであるが, それとは独立に, string field theory にも現われた [WZ92; Zwi93] ようである。 また, Stasheff [Sta] によると, Schlessinger と Stasheff が考えていたのと同じ頃に, Drinfel\('\)d と Schechtman の手紙のやりとりの中でも登場しているらしい。

\(L_{\infty }\)-algebra の解説としては, 以下のようなものがある。

• Lada と Stasheff による物理学者のための解説 [LS93]
• Schätz の Ph.D. thesis [Sch09]
• [BC04] の section 4.3 は, よくまとまっている。
• 物理への応用については, Giotopoulos と Szabo の [GS22] もある。
• Kraft と Schnitzer の解説 [KS] は curved \(L_{\infty }\)-algebra も含んでいる。

様々な応用があるが, ホモトピー論的 ( rational homotopy的) には, mapping space のモデルを構成するのに使われている。例えば, Berglundの [Ber15], Buijs と Gutiérrez の [BG16] などがある。Lazarev [Laz] は, rational homotopy thoery での fibration の classifying space を構成するのに使っている。

Callies と Frégier と Rogers と Zambon [Cal+16] は, symplectic geometry の moment map を 高次の symplectic 多様体に拡張するのに使っている。Frégier と Zambon [FZ15] は, 2つの構造を同時に deformation するときにも \(L_{\infty }\)-structure が使えると言っている。

Jae-Suk Park と Jeehoon Park [PP] は, smooth projective hypersurface 上の微分形式 の Griffiths period integral [Gri69] に隠された \(L_{\infty }\)-algebra の構造を見付けたと言っている。 Jae-Suk Park の仕事では, homotopy probability [DPT15a; DPT15b] にも登場する。

当然 dg Lie algebra に関する概念を \(L_{\infty }\)-algebra に一般化することも考えられている。 例えば, universal enveloping algebra については, 既に Lada と Markl の [LM95] で考えられている。より新しいものとしては, Baranovsky の [Bar08] や Moreno-Fernández の [Mor22] がある。当然 \(A_{\infty }\)-algebra として構成されている。

• universal enveloping algebra of \(L_{\infty }\)-algebra

拡張としては, \(L_{\infty }\)-algebroid [Bru11] や Leibniz algebra の strong homotopy 版などがある。Sheng と Liu [SL13] によると, Ammar と Poncin の [AP10] で導入されたようである。 彼等は, Uchino の [Uch11] も見るように書いている。

• \(L_{\infty }\)-algebroid
• strong homotopy Leibniz algebra

Braiding を持つものは, Dimitriević Ćirić と Giotopoulos と Radovanović と Szabo [Dim+21] により導入された。

• braided \(L_{\infty }\)-algebra

彼等の目的は, braided field theory という新しい noncommutative field theory の class を定義することであるが, その解説として [GS22] がある。そこでは, \(L_{\infty }\)-algebra を classical field theory や noncommutative field theory の対称性などの記述にどのように使うか, が解説されている。

References

[AP10]

Mourad Ammar and Norbert Poncin. “Coalgebraic approach to the Loday infinity category, stem differential for \(2n\)-ary graded and homotopy algebras”. In: Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 60.1 (2010), pp. 355–387. arXiv: 0809.4328. url: http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2010__60_1_355_0.

[Bar08]

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[BC04]

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[Ber15]

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[BG16]

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[Bru11]

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Gabriel C. Drummond-Cole, Jae-Suk Park, and John Terilla. “Homotopy probability theory II”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 10.3 (2015), pp. 623–635. arXiv: 1302.5325. url: https://doi.org/10.1007/s40062-014-0078-3.

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[Laz]

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