Homotopy Probability Theory

Homotopy probability とは, Jae-Suk Park らが [DPT15a; DPT15b] で提案している \(A_{\infty }\)-algebra や \(L_{\infty }\)-algebra などの homotopy algebra を使った確率論の変種である。Drummond-Cole と Terrilla の [DT17] の冒頭では「random variable の成す vector space を chain complex に置き換えたもの」と説明されている。

Park は, homotopy probability について一連の論文としてまとめているようで, その最初のものが [Par] として出た。

Park らは, algebra of random variables 上には期待値を表す linear functional と algebra の構造の関係を明確にすることから homotopy algebra の構造を発見したようである。 ある algebra 上に linear functional があるときに, 最も単純な期待は, それが積を保つことであるが, 今の場合には積は保たれていない。 このようなときの指針として彼らが挙げている次のスローガンが示唆に富む:

このように, 確率論を \(A_{\infty }\)-algebra の世界に持ってくると, 当然ホモトピー論的な概念を導入したくなる。例えば [DT] では, 可縮な確率空間とか確率空間の cone などが導入されている。

Drummond-Cole [Dru18] は free probability の homotopy 版を導入している。

• free homotopy probability

Drummond-Cole と Terrilla [DT17] は Riemann 多様体上の確率論を拡張するために用いている。

References

[DPT15a]

Gabriel C. Drummond-Cole, Jae-Suk Park, and John Terilla. “Homotopy probability theory I”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 10.3 (2015), pp. 425–435. arXiv: 1302.3684. url: https://doi.org/10.1007/s40062-013-0067-y.

[DPT15b]

Gabriel C. Drummond-Cole, Jae-Suk Park, and John Terilla. “Homotopy probability theory II”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 10.3 (2015), pp. 623–635. arXiv: 1302.5325. url: https://doi.org/10.1007/s40062-014-0078-3.

[Dru18]

Gabriel C. Drummond-Cole. “A non-crossing word cooperad for free homotopy probability theory”. In: 2016 MATRIX annals. Vol. 1. MATRIX Book Ser. Springer, Cham, 2018, pp. 77–99. arXiv: 1602.08867.

[DT]

Gabriel C. Drummond-Cole and John Terilla. Cones in homotopy probability theory. arXiv: 1410.5506.

[DT17]

Gabriel C. Drummond-Cole and John Terilla. “Homotopy probability theory on a Riemannian manifold and the Euler equation”. In: New York J. Math. 23 (2017), pp. 1065–1085. arXiv: 1608.00141. url: http://nyjm.albany.edu:8000/j/2017/23_1065.html.

[Par]

Jae-Suk Park. Homotopy Theory of Probability Spaces I: Classical independence and homotopy Lie algebras. arXiv: 1510.08289.