確率論

最近のトポロジーと確率論の関係としては, 計算トポロジーでの persistent homology がある。Bubenik と Kim の [BK07] を読むとよい。 Mileyko, Mukherjee, Harer らは [MMH11; Tur+14] で persistence diagram の空間上の確率測度を考えている。

トポロジーというより 微分幾何学寄りの話題であるが, Bismut が [Bis86] で確率論の応用について述べている。 Atiyah-Singer の index theorem や Witten Morse complex など。

よりトポロジーに近い問題として, 単体的複体などで, 頂点集合に辺や面を適当な確率で貼り付けたときにホモトピー型がどう変わるか, というものがある。最近盛んに研究されている。

• random object の topology

単体的複体との関係では, qualitative probability order という概念がある。有限集合上の probability measure の一般化になっているようなもののようである。

• qualitative probability order

Edelman と Gvozdeva と Slinko の [EGS13] では, qualitative probability order から作られる simplicial complex が考えられている。

単体的複体の 幾何学的実現を, 確率論的なアプローチで定義することを Ivan Marin [Mar20] が提案している。 Simplicial set の幾何学的実現についても, Gavrilovich と Pimenov [GP] が確率論的アプローチを提案している。

グラフを確率論的に扱うには, subgraph density という量も重要なようである。 Lovasz と Szegedy の [LS11] によると, それによりグラフの列を考える際には graphon という \([0,1]\times [0,1]\) 上の関数が, グラフの列の一般化として考えられる。

Random walk については, graph や simplicial complex や arrangement など, 様々な幾何学的 (組せ合せ論的) 構造の上のものが考えられている。

• random walk

確率論の一般化として, noncommutative probability と呼ばれるものがある。 確率空間上の measurable function の成す可換な algebra (algebra of random varialbes) を非可換な algebra に変えようというアイデアである。その一種として Voiculescu と Dykema と Nica [VDN92] により導入された free probability がある。 やはり Tao による解説が分かりやすい。

• algebra of random variables
• free probability
• noncommutative probability

Noncrossing partition [Spe97] や complex cobordism [FM] などとも関係あるようである。

関連して, Park ら [DPT15a; DPT15b] が \(A_{\infty }\)-algebra や \(L_{\infty }\)-algebra などの homotopy algebra を使うことを提案している。 彼等は homotopy probability theory と呼んでいる。

• homotopy probability theory

Vargas [Var] がそれに関連して, noncommutative probability と TDA の関係について議論してい る。

別の方向では, Gauthier の algebraic stochastic calculus [Gau]がある。 Grothendieck topologyやそれに関する sheafなどを使おうとして いる。当然 \((\infty ,1)\)-categoryなども使 われている。

確率論に触発された abstract simplicial complex の 幾何学的実現が Ivan Marin [Mar20] により導入されている。普通の幾何学的実現と弱ホモトピー同値になるようであるが, どのような利点があるのだろうか。

ホモロジーを導入した人もいる。Baudot と Bennequin [BB15] の information homology である。 Vigneaux の thesis [Vig20] を見るとよい。

• information homology

圏論的なアプローチも, 何人かの人が考えている。Sturtz の [CS14; Stu] や Gogioso と Scandolo の [GS18] など。 他にも, Fritz ら [Fri20; FGP21; FL23] が調べている Markov category という構造もある。最初 Golubtsov [Gol99] により導入され, Cho と Jacobs [CJ19] により再発見されたらしい。

• Markov category

確率論に現れる概念を例にとった圏論の入門 [GF] もある。

References

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[Bis86]

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[BK07]

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[DPT15a]

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[DPT15b]

Gabriel C. Drummond-Cole, Jae-Suk Park, and John Terilla. “Homotopy probability theory II”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 10.3 (2015), pp. 623–635. arXiv: 1302.5325. url: https://doi.org/10.1007/s40062-014-0078-3.

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[FM]

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[Gau]

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[GF]

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[Gol99]

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[Stu]

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[Var]

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[VDN92]

D. V. Voiculescu, K. J. Dykema, and A. Nica. Free random variables. Vol. 1. CRM Monograph Series. A noncommutative probability approach to free products with applications to random matrices, operator algebras and harmonic analysis on free groups. Providence, RI: American Mathematical Society, 1992, pp. vi+70. isbn: 0-8218-6999-X.

[Vig20]

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