有理ホモトピー論

非安定ホモトピー論における \(v_n\) 周期的現象の中で, \(v_0\) 周期的な情報については, Quillen [Qui69] や Sullivan [Sul77] の仕事により, 有理ホモトピー論として完成された理論になっている。解説も多いし, 教科書も出版されている。例えば [FHT01] などである。Kathryn Hess の [Hes07] という解説もある。 他には, Menichi の [Men] や Félix と Halperin の [FH] などの解説がある。

\(v_0\) 周期的情報は, 一連の \(v_n\) 周期的情報の最初の最も簡単な場合と考えることができる。しかしながら, \(n\ge 1\) の \(v_n\) 周期性と比べると非常に単純であり, \(n\ge 1\) の場合のヒントにするのは難しいように思える。

もっとも有理ホモトピー論自体は, 幾何学的な応用などもあり, 重要な分野である。また \(v_0\)-torsion 部分との関連も, John Moore により予想されている。 Felix と Halperin と Thomas [FHT82] により, rational homology が各次元で有限なCW複体は elliptic space と hyperbolic space の2種類に分類できることが知られているが, John Moore の予想は, elliptic space は \(v_0\)-exponent を持つというものである。

• elliptic space
• hyperbolic space
• John Moore の予想
• 有理ホモトピー論の応用

また有理ホモトピー型の完全に代数的なモデルがあることも興味深い。

有理ホモトピー型のモデルには, Sullivan [Sul77] による differential graded commutative algebra を用いたモデルと, Quillen [Qui69] による differential graded Lie algebra を用いたモデルがある。

• differential graded algebra
• differential graded Lie algebra

それぞれ(コ)ホモロジーが \(H^*(X;\Q )\) あるいは \(\pi _*(\Omega X)\otimes \Q \) になるものである。

• Sullivan の minimal モデル
• Quillen モデル

このような, 古典的な有理ホモトピー論では, 幾何学的対象を代数的対象に置き換えて研究する。 他にも空間の代数的モデルは, 様々なものが考えられている。

• 空間の代数的モデル

Rational homotopy type の moduli space を考えることもできる [Bla05], らしい。

具体的な空間のできるだけ単純な代数的モデルを構成することも重要であり, 数多くの研究がある。例えば, 多様体の configuration space のモデルについては, \(\bbC \) 上の smooth algebraic variety の場合を Kriz [Křı́94] と Totaro [Tot96] が構成している。Lambrecht と Stanley の試み [LS08b; LS08a] もある。

(コ)ホモロジーを intersection homology にしたものもある。 Chataur, Saralegi-Aranguren, Tanré [CST18]の perverse algebraic model である。 Chataur と Circi [CC] は孤立特異点を持つ複素代数多様体の場合を調べている。

Stable homotopy theory は rational に考えると graded \(\Q \)-vector space を考えるのと同じであるが, 群の作用を考えると, 面白いことがあるらしい。

• equivariant rational stable homotopy theory

Greenlees が中心になって torus などを詳しく調べている。

References

[Bla05]

David Blanc. “Moduli spaces of homotopy theory”. In: Geometry, spectral theory, groups, and dynamics. Vol. 387. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2005, pp. 37–63. arXiv: math/ 0410080. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/387/07233.

[CC]

David Chataur and Joana Cirici. Mixed Hodge structures on the intersection homotopy type of complex varieties with isolated singularities. arXiv: 1603.09125.

[CST18]

David Chataur, Martintxo Saralegi-Aranguren, and Daniel Tanré. “Intersection cohomology, simplicial blow-up and rational homotopy”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 254.1214 (2018), pp. viii+108. arXiv: 1205.7057. url: https://doi.org/10.1090/memo/1214.

[FH]

Yves Félix and Steve Halperin. Rational homotopy theory via Sullivan models: a survey. arXiv: 1708.05245.

[FHT01]

Yves Félix, Stephen Halperin, and Jean-Claude Thomas. Rational homotopy theory. Vol. 205. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag, 2001, pp. xxxiv+535. isbn: 0-387-95068-0. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4613-0105-9.

[FHT82]

Yves Félix, Stephen Halperin, and Jean-Claude Thomas. “The homotopy Lie algebra for finite complexes”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 56 (1982), 179–202 (1983). url: http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1982__56__179_0.

[Hes07]

Kathryn Hess. “Rational homotopy theory: a brief introduction”. In: Interactions between homotopy theory and algebra. Vol. 436. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2007, pp. 175–202. arXiv: math/0604626. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/436/08409.

[Křı́94]

Igor Křı́ž. “On the rational homotopy type of configuration spaces”. In: Ann. of Math. (2) 139.2 (1994), pp. 227–237. url: http://dx.doi.org/10.2307/2946581.

[LS08a]

Pascal Lambrechts and Don Stanley. “A remarkable DGmodule model for configuration spaces”. In: Algebr. Geom. Topol. 8.2 (2008), pp. 1191–1222. arXiv: 0707.2350. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2008.8.1191.

[LS08b]

Pascal Lambrechts and Don Stanley. “Poincaré duality and commutative differential graded algebras”. In: Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4) 41.4 (2008), pp. 495–509. arXiv: math/0701309.

[Men]

Luc Menichi. Rational homotopy – Sullivan models. arXiv: 1308. 6685.

[Qui69]

Daniel Quillen. “Rational homotopy theory”. In: Ann. of Math. (2) 90 (1969), pp. 205–295. url: https://doi.org/10.2307/1970725.

[Sul77]

Dennis Sullivan. “Infinitesimal computations in topology”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 47 (1977), 269–331 (1978).

[Tot96]

Burt Totaro. “Configuration spaces of algebraic varieties”. In: Topology 35.4 (1996), pp. 1057–1067. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(95)00058-5.