非安定ホモトピー論における chromatic 現象

安定ホモトピー論においては, \(\mathrm {BP}\)理論等を用いてホモトピー論的情報を \(v_n\) 周期的な情報に分割して調べることが有効であることがわかっている。

非安定ホモトピー論においては, \(v_0\)周期的な情報は, 有理ホモトピー論として代数的に扱うことができることが分っている。 \(v_1\)周期的ホモトピー群については, D. Davisらによる計算があるが, 有理ホモトピー論のような「\(v_1\) 周期的ホモトピー論」と言えるべきものにはなっていない。

• 有理ホモトピー論
• \(v_1\)周期的ホモトピー群

安定ホモトピー論と比較すると, Hopkins らにより Ravenel の一連の予想 [Rav84] が解決される以前, いや Ravenel の予想の登場以前の段階と言えるだろう。 一般の \(v_n\) について, 安定ホモトピー論に近いような理論を構築するにはまだ時間がかかりそうである。

Kuhn (と Bousfield) の作った \(K(n)\)-localization を与える spectrum に値を持つ関手 [Kuh08] は, stable な情報を unstable な世界に持ち込むための一つのヒントになるかもしれない。 実際, Kuhn は unstable \(v_n\)-periodic homotopy group を, この functor を用いて定義することを提案している。

• Bousfield-Kuhn functor \(\Phi _{K(n)}\)
• \(v_{n}\)-periodic homotopy groups

Barthel, Heuts, and Meier は, \(v_{n}\)-periodic homotopy group を全て合せると, 弱ホモトピー同値を detect できることを示している。 つまり, 全ての \(n\) に対し \(v_{n}\)-periodic homotopy group の同型を誘導する写像は弱ホモトピー同値であることを示している。 彼等は periodic homotopy group に対する Whitehead の定理と呼んでいる。

有理ホモトピー論における Quillen や Sullivan の仕事の \(v_{n}\)版を, この Bousfield-Kuhn functor を用いて spectral algebra の世界で実現することを最初に考えたのは, Behrens と Rezk だろう。 彼等の論文 [BR20a] の結果が発表されたのは 2012年らしいが, 技術的な困難があって, arXiv に登場するまでにかなり時間がかかったようである。

その間に, Arone と Ching や Heuts がより conceptual なアプローチを発表したようであるが, Arone と Ching の “Localized Taylor towers” はまだ登場していない。 Heuts ものは, 論文としては [Heu21] に対応するのだろう。 Heuts は, これらの仕事について [Heu20] という survey を書いている。 また Behrens と Rezk も [BR20b] という survey を書いている。

• spectral Lie algebra model

Behrens と Rezk は, 空間 \(X\) の \(K(n)\)-local Bousfield-Kuhn functor から \(X\) の \(K(n)\)-local Spanier-Whitehead dual の topological André-Quillen cohomology への natural transformation \[ \Phi _{K(n)}(X) \rarrow {} \textrm {TAQ}_{S_{K(n)}}(S_{K(n)}^{X}) \] を構成している。

Ching [Chi05] の結果により, 右辺は spectral Lie algebra, つまり Ching による spectrum の category での Lie operad の類似上の algebra になるので, rational homotopy theory での Lie algebra model の類似になる, ということである。

Eldred, Heuts, Methew, Meier [Eld+19] は, この Bousfield-Kuhn functor が right adjoint を持つことを用い, \(v_{n}\)-periodic equivalence で localize した pointed space の \(\infty \)-category \(M_{n}^{f}\) が, その adjunction に付随する monad 上の algebra の category と同値であると言っている。そして, その monad と Ching の spectral Lie algebra の関係を明らかにしたのが, Heuts の [Heu21] である。

一方, 非安定ホモトピー論では, Cohen-Moore-Neisendorfer らによる exponent の研究からも示唆されるように, \(v_n\)周期的情報だけでなく \(v_n\)-torsion を調べることも重要である。それは, 私の thesis [Tam93] のテーマでもあった。

• 古典的 EHP 列
• ホモトピー群の exponent の問題
• Moore 空間のホモトピー論

これについては, やはり Bousfield-Khun functor を用いた試みとして, Guozhen Wang の thesis [Wan15] がある。 彼は, \(p\ge 5\) に対して \(\Phi _{K(2)}S^{2k+1}\) の \(v_{1}\)-exponent が有限であることを示している。また \(S^{3}\) の \(v_{1}\)-exponent が \(2\) であることを予想している。 その根拠の一つとして, 私の計算 [Tam94] も挙げられている。

Wang の thesis では, より一般に, 球面の \(v_{n}\)-torsion の \(v_{n}\)-exponent が有限であると予想されているが, それがほとんどの人の認識だと思う。

References

[BR20a]

Mark Behrens and Charles Rezk. “The Bousfield-Kuhn functor and topological André-Quillen cohomology”. In: Invent. Math. 220.3 (2020), pp. 949–1022. arXiv: 1712.03045. url: https://doi.org/10.1007/s00222-019-00941-x.

[BR20b]

Mark Behrens and Charles Rezk. “Spectral algebra models of unstable \(v_n\)-periodic homotopy theory”. In: Bousfield classes and Ohkawa’s theorem. Vol. 309. Springer Proc. Math. Stat. Springer, Singapore, [2020] ©2020, pp. 275–323. arXiv: 1703.02186. url: https://doi.org/10.1007/978-981-15-1588-0_10.

[Chi05]

Michael Ching. “Bar constructions for topological operads and the Goodwillie derivatives of the identity”. In: Geom. Topol. 9 (2005), 833–933 (electronic). arXiv: math/0501429. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2005.9.833.

[Eld+19]

Rosona Eldred, Gijs Heuts, Akhil Mathew, and Lennart Meier. “Monadicity of the Bousfield-Kuhn functor”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 147.4 (2019), pp. 1789–1796. arXiv: 1707.05986. url: https://doi.org/10.1090/proc/14331.

[Heu20]

Gijs Heuts. “Lie algebra models for unstable homotopy theory”. In: Handbook of homotopy theory. CRC Press/Chapman Hall Handb. Math. Ser. CRC Press, Boca Raton, FL, [2020] ©2020, pp. 657–698. arXiv: 1907.13055.

[Heu21]

Gijs Heuts. “Lie algebras and \(v_n\)-periodic spaces”. In: Ann. of Math. (2) 193.1 (2021), pp. 223–301. arXiv: 1803.06325. url: https://doi.org/10.4007/annals.2021.193.1.3.

[Kuh08]

Nicholas J. Kuhn. “A guide to telescopic functors”. In: Homology, Homotopy Appl. 10.3 (2008), pp. 291–319. arXiv: 0802.0510. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1251832476.

[Rav84]

Douglas C. Ravenel. “Localization with respect to certain periodic homology theories”. In: Amer. J. Math. 106.2 (1984), pp. 351–414. url: http://dx.doi.org/10.2307/2374308.

[Tam93]

Dai Tamaki. Homological methods in the unstable chromatic phenomena. Thesis (Ph.D.)–University of Rochester. ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 1993, p. 128.

[Tam94]

Dai Tamaki. “On a space realizing the \(v_1\)-torsion part of the mod \(p\) homotopy groups of \(S^3\)”. In: Topology and representation theory (Evanston, IL, 1992). Vol. 158. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1994, pp. 229–267. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/158/01462.

[Wan15]

Guozhen Wang. Unstable chromatic homotopy theory. Thesis (Ph.D.)–Massachusetts Institute of Technology. ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 2015, (no paging). url: https://dspace.mit.edu/handle/1721.1/99321.