古典的EHP列

球面の非安定ホモトピー群を調べる際に, 最も重要な道具の一つがEHP列である。 その構成には, James の reduced product による構成を用いる。

• Freudenthal suspension \(E : X \to \Omega \Sigma X\) の定義
• mod \(p\) Hopf invariant \(H_p : \Omega \Sigma X \to \Omega \Sigma X^{\wedge p}\) の構成

Lewis の [Lew82] によると, Freudenthal suspension がいつ cofibration になるか, というのは John Moore による問題らしい。Lewis はこの論文で, 対角写像 \(\Delta : X \to X\times X\) が cofibration (正確には対 \((X\times X,\Delta (X))\) が NDR pair) ならば, Freudenthal suspension も cofibration になるということを示している。

重要なのは \(X\) が球面の場合である。

• \(2\)-primary EHP列
• 奇素数に対するEHP列

これらを手っ取り早く学ぼうと思ったら, 戸田・三村 の [戸三75] を読むのが一つの手である。

これらの球面に関するEHP列は, Gray のEHPスペクトラム [Gra93a; Gra93b] の観点から見ると, 球面スペクトラムの, 空間列による表現の一つを与えていることになる。

スペクトラムという stable homotopy category の object を unstable な object で近似する方法は様々なものがあるが, \(1\)回 suspension を取るごとにその違いを正確に表現しているという点で, EHP sequence が最も情報量の多いものだと言えるだろう。

ホモトピー群の高次周期性の視点からは, sphere spectrum の次は, Moore spectrum を表現する EHP列を探すことが次の目標であり, Gray の論文 [Gra93a; Gra93b] は, その問題を提案したものである。 しかしながら, その問題はまだ解決には程遠い。

EHP sequence は fibration の族だから, そのホモトピー群の完全列を用いると exact couple ができる。 よって spectral sequenceが得られる。それを EHP spectral sequence という。

• EHP spectral sequence

\(\mathbb {A}^1\)-homotopy theory の文脈での類似が Wickelgren と Williams [WW19; AWW17] により構成されている。もちろん EHP spectral sequence も。

References

[AWW17]

Aravind Asok, Kirsten Wickelgren, and Ben Williams. “The simplicial suspension sequence in \(\Bbb {A}^1\)-homotopy”. In: Geom. Topol. 21.4 (2017), pp. 2093–2160. arXiv: 1507.05152. url: https://doi.org/10.2140/gt.2017.21.2093.

[Gra93a]

Brayton Gray. “\(EHP\) spectra and periodicity. I. Geometric constructions”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 340.2 (1993), pp. 595–616. url: http://dx.doi.org/10.2307/2154668.

[Gra93b]

Brayton Gray. “\(EHP\) spectra and periodicity. II. \(\Lambda \)-algebra models”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 340.2 (1993), pp. 617–640. url: http://dx.doi.org/10.2307/2154669.

[Lew82]

L. Gaunce Lewis Jr. “When is the natural map \(X\rightarrow \Omega \Sigma X\) a cofibration?” In: Trans. Amer. Math. Soc. 273.1 (1982), pp. 147–155. url: https://doi.org/10.2307/1999197.

[WW19]

Kirsten Wickelgren and Ben Williams. “The simplicial EHP sequence in \(\mathbb {A}^1\)-algebraic topology”. In: Geom. Topol. 23.4 (2019), pp. 1691–1777. arXiv: 1411.5306. url: https://doi.org/10.2140/gt.2019.23.1691.

[戸三75]

戸田宏 and 三村護. ホモトピー論. Vol. 3. 紀伊國屋数学叢書. 東京: 紀伊國屋書店, 1975.