ホモトピー群のexponentの問題

ホモトピー群を具体的に計算するのは非常に難しい。そこで, 各 \(\pi _n(X)\) の具体的な計算はあきらめて, \(n\) について集めた graded Abelian group \(\pi _*(X)\) 全体の構造を調べようという戦略が考えられる。

安定ホモトピー論の世界では, BP理論などを用いて, 各 \(v_n\) に関し周期的な部分に分けて考える, ということが行なわれている。 ホモトピー群の元を個別に調べるのではなく, \(v_n\)の作用で結びついた列として考えようというわけである。

非安定ホモトピー論でも, \(v_n\)周期的な部分を調べることは重要な問題であり, \(v_1\)周期的な部分については, Don Davis を中心に球面やLie群について調べられている。Davis の [Dav03] にある参考文献を参照のこと。

• 非安定ホモトピー論における chromatic現象

各\(n\)について, \(v_n\)-periodic な部分があれば, periodic でない部分, つまり \(v_n\)-torsion の部分がある。安定ホモトピー群では, 例えば球面の場合, \(v_0\)-torsion 部分には, 任意に大きな位数の元が存在することが分かっていて, 一般に \(v_n\)-torsion 部分についての良い情報を得ることは難しい。 ところが空間のホモトピー群は, \(v_0\)-torsion 部分が exponent を持つことがあり, 更にその場合 exponent が空間の次元に大きく依存していることが多い。

そこで, 非安定ホモトピー論ではホモトピー群の exponent が重要な問題の一つとなっている。

最初に, 球面のホモトピー群の \(v_0\)-exponent を調べたのは, James [Jam57] (\(p=2\))と 戸田 [Tod56] (\(p\):奇素数)である。そして, 戸田の奇素数に関する exponent の結果を best possible な評価に改良したのが, Cohen と Moore と Neisendorfer の仕事である。 そこでは differential graded Lie algebraや mod \(p\) Hurewicz 定理などの道具が巧みに用いられている。 原論文やそれに関連した三人の論文 [CMN79a; CMN79c; CMN79b; CMN87] はどれも読み易いので, この問題に興味を持った人は原論文を読むことをお勧めする。 その際, 三人の仕事の基礎になっている Neisendorfer の [Nei80] を手元に置いておくとよい。

Neisendorfer の本 [Nei10]は, この Cohen-Moore-Neisendorfer の結果を目標に書かれていて, 必要な道具も全て含まれている。今なら, この本を読むのがよいと思う。

Cohen と Moore と Neisendorfer の仕事の中で, 重要なのは Moore空間のループ空間の分解であるが, それを拡張したのは Anick [Ani93]である。Anickは, 私が Rochester大学の学生だったときに, visitor として半年滞在し, この本の内容を講義してくれた。一枚の紙を縦二つに分けて, びっしりと書いたメモを見ながら, 非常に濃い内容の講義をしてくれたのが印象的だった。そして, その講義が終り, Rochester大学での滞在が終ると同時に, 数学をやめて医学生になってしまった。 その中での fibration の構成を見直したのが Gray とTheriault の [GT10] である。

• Anick の空間

Theriault は, [The] でそれらの結果を用いて Cohen-Moore-Neisendorferのexponent に関する結果の別証を得ている。Gray は, 更に [Grab] でその性質を調べている。\(2\)-primary analogue は, Theriault [The11] により構成されている。

Gray や Theriault は, 古典的なホモトピー論の手法を用いているが, これだけでは限界がある。実際, Cohen-Moore-Neisendorfer の仕事では, differential graded Lie algebra が book keeping のために重要な役割を果している。 ホモトピー群のような複雑なものを調べるためには, 組み合せ論的情報をうまく扱う必要がある。そのために Fred Cohen が [Coh95] で導入した有限生成群を用いようというのが, Cohen, Mikhailov, Wuの [CMW] である。

• Cohen group

Chromaticな視点からは, 球面の次に来るのは Moore space, そして \(V(1)\) であるが, それについては Brayton Gray が [Gra93a; Gra93b] で, EHP spectrum の概念を導入し, いくつかの予想を挙げている。その後, Gray 自身 [AG95] や Theriault ら [The03; Nei99] が, Anick の仕事をもとに研究している。現状については, Gray の [Graa] を見るとよい。

球面以外の空間の exponentについては, 例えば, \(SU(n)\) が調べられている。Don Davis と Sun の評価 [DS], そして Davis と Theriault の結果 [DT] がある。

一般の空間については, John Mooreの予想 [Sel88] がある。

• 単連結なCW複体 \(X\) について, \(H_*(X;\Q )\) も \(\pi _*(X)\otimes \Q \) も共に有限次元 (つまり elliptic space) ならば, 全ての素数 \(p\) に関し, \(\pi _*(X)\) の \(p\)-torsion部分は exponent を持つ。

例としては, finite Hopf space [Sta02] がある。 Theriaultら [HST] は, generalized moment-angle complex に対して成り立つことを示している。

Stanley は, Hopf space の \(p\)-exponent を考えるときには, rational homology の代りに mod \(p\)ホモロジーの有限性で十分であることを示している。また, [Cha+08] では, 有限性が Steenrod代数上の有限生成性に弱められることも示されている。

ホモトピー群全体ではなく, metastable range について考えようというのが, Mikhailov と Wu の [MW]である。mod 2 Moore space のホモトピー群の metastable range の exponent を調べている。

References

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