位相群やLie群などに関連したこと

このページには, 位相群の一般化と考えられるもの, そしてそれらに関係したページへの link を集めてみた。 結果的にあまり関連性のないものの寄せ集めになってしまった。

Lie群とその表現については, The Atlas of Lie Groups and Representations という website がある。 PDF 形式の解説論文等も手に入る。

まずはLie群について。

• 行列群
• Lie 群の基礎
• Lie 群の有限部分群
• Lie 群に関連した空間
• Lie algebra
• Lie 群および関連した空間の (コ) ホモロジー
• Lie 群および関連した空間のホモトピー論
• 無限次元 Lie 群と Lie 環
• 表現論
• 代数群と group scheme
• algebraic supergroup や supergroup scheme

次に位相群やその作用について。

• 局所コンパクト群とコンパクト群
• 群の作用する空間
• 同相写像や微分同相写像の成す位相群

局所コンパクト群以外にも, 様々な形容詞が付いた位相群が考えられている。

• Polish group
• oligomorphic group
• non-archimedean group ([Kec13] の section 1)
• Roelcke precompact group ([Usp02] の section 4)
• admissible group

Polish group とは, 位相空間として Polish space になっている位相群のことである。

Admissible group は, Harman と Snowden の [HS] で使われている用語で, Hausdorff, non-archimedean, Roelcke precompact である位相群のことである。

Lie 群と位相群の関係として最も有名な問題の1つは, Hilbert の第5問題, つまり位相群がいつLie群の構造を持つか, という問題である。 これについては, Tao の本 [Tao14] がある。 ここから download できる。

• Hibert’s fifth problem

ホモトピー論的な位相群の一般化としては, Hopf 空間がある。 他にも様々な見方から位相群の概念が一般化できる。

• Hopf 空間
• co-Hopf 空間
• 量子群
• Lie \(2\)-group と Lie \(2\)-algebra
• topological groupoid
• Lie groupoid
• 群の概念の一般化

位相群は, 位相空間に群の構造が定義され, 積と逆元を取る操作が連続になっているものであるが, 位相によっては, この条件の一部だけで位相群になる。 このことを最初に発見したのは, Montgomery [Mon36] であり, locally complete metric space なら, 積が各変数で連続なだけで位相群になることを示している。 また Ellis [Ell57] は, 局所コンパクト Hausdorff 空間なら積が連続であるだけで, 逆元を取る写像も連続になることを示している。

これらのことから, 位相群の条件を弱めたものが色々定義されている。 Reznichenko の [Rez24] では, 次のものが登場する。

• semitopological group
• right semitopological group
• left semitopological gorup
• paratopological group
• quasitopological group

例えば, 基本群に compact-open topology の等化位相を入れたものは, quasitopological group の典型的な例である。 Brazas と Fabel の [BF15] では, Arhangel\('\)skii と Tkachenko の本 [AT08] が参照されている。

最近でも, almost paratopological group が [Rez] で導入されている。

References

[AT08]

Alexander Arhangel\('\)skii and Mikhail Tkachenko. Topological groups and related structures. Vol. 1. Atlantis Studies in Mathematics. Atlantis Press, Paris, 2008, pp. xiv+781. isbn: 978-90-78677-06-2. url: http://dx.doi.org/10.2991/978-94-91216-35-0.

[BF15]

Jeremy Brazas and Paul Fabel. “On fundamental groups with the quotient topology”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 10.1 (2015), pp. 71–91. arXiv: 1304.6453. url: https://doi.org/10.1007/s40062-013-0042-7.

[Ell57]

Robert Ellis. “A note on the continuity of the inverse”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 8 (1957), pp. 372–373. url: https://doi.org/10.2307/2033747.

[HS]

Nate Harman and Andrew Snowden. Oligomorphic groups and tensor categories. arXiv: 2204.04526.

[Kec13]

Alexander S. Kechris. “Dynamics of non-archimedean Polish groups”. In: European Congress of Mathematics. Eur. Math. Soc., Zürich, 2013, pp. 375–397.

[Mon36]

Deane Montgomery. “Continuity in topological groups”. In: Bull. Amer. Math. Soc. 42.12 (1936), pp. 879–882. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1936-06456-6.

[Rez]

Evgenii Reznichenko. Almost paratopological groups. arXiv: 2306.06241.

[Rez24]

Evgenii Reznichenko. “Continuity of operations in right semitopological groups”. In: Topology Appl. 351 (2024), Paper No. 108952, 21. arXiv: 2205.06316. url: https://doi.org/10.1016/j.topol.2024.108952.

[Tao14]

Terence Tao. Hilbert’s fifth problem and related topics. Vol. 153. Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society, Providence, RI, 2014, pp. xiv+338. isbn: 978-1-4704-1564-8. url: https://doi.org/10.1090/gsm/153.

[Usp02]

Vladimir Uspenskij. “Compactifications of topological groups”. In: Proceedings of the Ninth Prague Topological Symposium (2001). Topol. Atlas, North Bay, ON, 2002, pp. 331–346. isbn: 0-9730867-0-X. arXiv: math/0204144.