Picard Groups and Related Topics

Picard group とは, 元々は line bundle (あるいは invertible sheaf) の同型類が \(\otimes \) で成すAbel群のことだった。しかしながら, その定義に は \(\otimes \) しか必要ないので, 誰が見ても一般のsymmetric monoidal category で考えるのが自然である。つまり, \(x\otimes y\cong 1\) となる \(y\) が存在するような object \(x\) の同型類が \(\otimes \) で成す群のことである。 そのような一般的な文脈での Picard group については, May の [May01] を見るとよい。

May が書いていることからも分かるように, 代数幾何学以外にも stable homotopy theory でも有用である。 Symmetric monoidal category になる spectrum の category が構成されたおかげである。

• stable homotopy theory における Picard group

Picard group の一般化としては, まず monoidal category を bicategory に “many-objectification” することが考えられる。すると 群が groupoid になり Picard groupoid が定義される。

• Picard groupoid

更に Etingofと Nikshychと Ostrik [ENO10] による Brauer-Picard groupoid という一般化もある。

• Brauer-Picard groupoid

Derived Picard group というものもある。 Rouquier と Zimmermann [Zim96; RZ03]と Yekutieli [Yek99] により独立に環に対して導入された。その定義は, Keller [Kel04] により dg algebra に拡張されている。

Mathew と Stojanoska [MS16] は, symmetric monoidal \(\infty \)-category に対し Picard \(\infty \)-groupoid を定義している。また, それが delooping を持ち, 無限ループ空間, よって connective spectrum を定義することを示している。その spectrum を Picard spectrum と呼んでいる。

• Picard \(\infty \)-groupoid
• Picard spectrum

References

[ENO10]

Pavel Etingof, Dmitri Nikshych, and Victor Ostrik. “Fusion categories and homotopy theory”. In: Quantum Topol. 1.3 (2010). With an appendix by Ehud Meir, pp. 209–273. arXiv: 0909.3140. url: http://dx.doi.org/10.4171/QT/6.

[Kel04]

Bernhard Keller. “Hochschild cohomology and derived Picard groups”. In: J. Pure Appl. Algebra 190.1-3 (2004), pp. 177–196. arXiv: math/0310221. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2003.10.030.

[May01]

J. P. May. “Picard groups, Grothendieck rings, and Burnside rings of categories”. In: Adv. Math. 163.1 (2001), pp. 1–16. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.2001.1996.

[MS16]

Akhil Mathew and Vesna Stojanoska. “The Picard group of topological modular forms via descent theory”. In: Geom. Topol. 20.6 (2016), pp. 3133–3217. arXiv: 1409 . 7702. url: https://doi.org/10.2140/gt.2016.20.3133.

[RZ03]

Raphaël Rouquier and Alexander Zimmermann. “Picard groups for derived module categories”. In: Proc. London Math. Soc. (3) 87.1 (2003), pp. 197–225. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0024611503014059.

[Yek99]

Amnon Yekutieli. “Dualizing complexes, Morita equivalence and the derived Picard group of a ring”. In: J. London Math. Soc. (2) 60.3 (1999), pp. 723–746. arXiv: math / 9810134. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0024610799008108.

[Zim96]

Alexander Zimmermann. “Derived equivalences of orders”. In: Representation theory of algebras (Cocoyoc, 1994). Vol. 18. CMS Conf. Proc. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1996, pp. 721–749.