Symmetric monoidal category になる spectrum のモデル

Lima [Lim58; Lim59] により spectrum の概念が導入されて以降, その圏を symmetric monoidal category として構成することは, 長年の課題だった。 Boardman により, smash product も含めた (古典的な) spectrum の stable homotopy category は構成されたが, ホモトピー圏まで落さないと, symmetric monoidal category にならないものだった。 Boardman の安定ホモトピー圏については、 Vogt の note [Vog70] がある。 Adams は, [Ada74] の part III で Boardman の圏と同値な圏で “category theory の専門知識なしに理解可能”なものを構成している。

最初に, symmetric monoidal category として構成することに成功したのは, Elmendorf と Kriz と Mandell と May (EKMM) の [Elm+97] だった。

• EKMM spectrum or \(S\)-module

EKMM の spectrum と同じことを目指したもう一つの approach は, Hovey と Shipley と Jeff Smith [HSS00] による, 対称群の作用を用いた symmetric spectrum である。また orthogonal spectrum という Mandell と May による EKMM spectrum と symmetric spectrum のいいとこ取りをしたものもある。

• symmetric spectrum
• orthogonal spectrum

この3つの現代的なスペクトラムについては, Greenlees の [Gre07] の §4 に簡潔にまとめられているので, まずはそれを見るのが良いかもしれない。

これらどのアプローチをとっても, できた monoidal model category は, Quillen equivalence の zigzag により結ばれる [SS02; Shi01] ことが知られている。

他にも Lydakis による \(\Gamma \)-space を用いたもの [Lyd99] もある。 Connective spectrum に限定されるが。 Dundas と Goodwillie と McCarthy の本 [DGM13] の Chapter II に詳しく書かれている。

古典的なスペクトラムの圏と比べ, このような近代的な spectrum の圏の最大の長所は, (ホモトピー圏まで落さなくても) smash product が定義できること, つまり symmetric monoidal category を成すことである。よって, monoid object や commutative monoid objectとして, 「環」や「可換環」の類似が定義できる。

• ring spectrum

よって, これらの spectrum の圏では, 様々な代数的構成の類似が行なえる。

• スペクトラムの圏での代数的な構成

このように, spectrum は元々は幾何学的な構成に基いた概念だったが, そのホモトピー圏が, (tensor) triangulated category を成すことからも分かるように, ホモロジー代数を一般化する場としても用いることができるようになった。 現代的には, そのような視点からは stable model category や stable \((\infty ,1)\)-category の一つとして取り扱うべきだろう。

• stable model category
• stable (∞,1)-category

この model category の視点からは, spectrum の定義は, pointed model category から stable model category を作る操作として定義されるべきだろう。 そのような提案として, Hoveyの [Hov01] がある。 これは, 古典的な spectrum の定義を model category で真似したものであり, \(\N \) あるいは \(\Z \) で添字付けられた基点付きの対象の列で代表される。 Harpaz, Nuiten, Prasma [HNP19a; HNP19b] は, Heller のアプローチ [Hel97] に基づいた \(\N \times \N \) で添字付けられたものを使うことを提案している。

• 一般のモデル圏上の古典的スペクトラムの圏
• monoidal model category 上の symmetric spectrum の圏

応用としては, Voevodsky の motivic homotopy theory で使われる圏などがある。Panin らの [PPR09] の Appendix に簡潔にまとめられている。

Lurie は “Higher Algebra” [Lur] の中で, \((\infty ,1)\)-category の spectrum object を pointed finite space の成す \((\infty ,1)\)-category からその \((\infty ,1)\)-category への “reduced excisive functor” として定義している。この視点は, Goodwillie calculus により spectrum と linear functor を同一視できるという事実に基づいている。

• \((\infty ,1)\)-category の spectrum object

他にも spectrum の圏の構成には, いくつかのアプローチがある。Mark Johnson [Joh01] は, spectrum を topological category 上の presheaf とみなすという試みを行なっている。 Lydakis は, 上記のものの他に simplicial functor を用いたものを考えている。 その preprint は, Bielefeld大学 のpreprint server の1998年のところから入手できる。 その一般化が, Dundas と Röndigs と Østvær [DRØ03] や Biedermann [Bie] によって考えられている。 他の変な spectrum の定義としては, Hüttemann と Röding の [HR] がある。そこでは twisted functor の例として挙げてある。

Adams-Novikov spectral sequence の \(E_{2}\)-term を \(E_{*}E\) が \(E_{*}\) 上 flat でない場合に記述するために, Pstragowski [Pst23] が spectrum の圏を拡張した synthetic spectrum の圏を導入している。 Adams-type spectrum \(E\) に対し finite \(E\)-projective spectrum の \((\infty ,1)\)-category 上に Grothendieck topology を定義し, spectrum の圏に値を持つその site 上のある種の sheaf として定義している。Symmetric monoidal presentable stable \((\infty ,1)\)-category になる。

• synthetic spectrum

References

[Ada74]

J. F. Adams. Stable homotopy and generalised homology. Chicago, Ill.: University of Chicago Press, 1974, p. x 373.

[Bie]

Georg Biedermann. L-stable functors. arXiv: 0704.2576.

[DGM13]

Bjørn Ian Dundas, Thomas G. Goodwillie, and Randy McCarthy. The local structure of algebraic K-theory. Vol. 18. Algebra and Applications. Springer-Verlag London, Ltd., London, 2013, pp. xvi+435. isbn: 978-1-4471-4392-5; 978-1-4471-4393-2.

[DRØ03]

Bjørn Ian Dundas, Oliver Röndigs, and Paul Arne Østvær. “Enriched functors and stable homotopy theory”. In: Doc. Math. 8 (2003), 409–488 (electronic).

[Elm+97]

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[Gre07]

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[Hel97]

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[HNP19b]

Yonatan Harpaz, Joost Nuiten, and Matan Prasma. “The tangent bundle of a model category”. In: Theory Appl. Categ. 34 (2019), Paper No. 33, 1039–1072. arXiv: 1802.08031.

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Mark Hovey. “Spectra and symmetric spectra in general model categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 165.1 (2001), pp. 63–127. arXiv: math/0004051. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(00)00172-9.

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[Lim59]

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[Lur]

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[Lyd99]

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[Vog70]

Rainer Vogt. Boardman’s stable homotopy category. Lecture Notes Series, No. 21. Matematisk Institut, Aarhus Universitet, Aarhus, 1970, pp. i+246.