関手の微積分

90年代には, 安定ホモトピー論で二つの大きな進歩があった。 Hopkins らによる chromatic 現象の解析と Goodwillie による calculus of functors, つまり Goodwillie calculus の開発である。

21世紀の安定ホモトピー論において, Goodwillie calculus は必要不可欠な技術となったようである。もちろん, 非安定ホモトピー論においても Weiss の orthogonal calculus [Wei95] のように, 重要な構成が得られている。 結び目などの埋め込みの空間を調べるためには, Goodwillie と Weiss の manifold calculus [Wei99; GW99] がある。

参考文献としては, もちろん Goodwillie の論文三部作 [Goo90; Goo92; Goo03] である。part III はなかなか出版されなかったが, 2003年10月にやっと出版された。その中の証明の改良が Rezk [Rez] により行なわれているので, これも見るとよい。解説としては, Kuhn の [Kuh07] がある。Manifold calculus に主眼を置いて書かれたものであるが, Munson の [Mun] は, 関数の微分とのアナロジーで説明された解説であり, 参考文献も豊富である。

他には, Goodwillieの元学生達の論文が参考になる。Brenda Johnson の [Joh95] や Arone [Aro99; AM99] のものである。

モデル圏を用いた formulation は Biedermann と Röndigs らの [BCR07; BR] で得られている。

• 関手の微積分とは何か
• 関手の微積分の motivation
• 微積分と関手の微積分との比較
• 関手の微積分ができるための条件
• 関手の微積分の応用と例

Lurie は, [Lur] で高次の圏の言葉を使うことを提案しているが, これからはこの視点が主流になっていくのだろうか。 最近では, Heuts [Heu] が \((\infty ,1)\)-category の Taylor tower を考えている。

References

[AM99]

Greg Arone and Mark Mahowald. “The Goodwillie tower of the identity functor and the unstable periodic homotopy of spheres”. In: Invent. Math. 135.3 (1999), pp. 743–788. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002220050300.

[Aro99]

Greg Arone. “A generalization of Snaith-type filtration”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 351.3 (1999), pp. 1123–1150. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-99-02405-8.

[BCR07]

Georg Biedermann, Boris Chorny, and Oliver Röndigs. “Calculus of functors and model categories”. In: Adv. Math. 214.1 (2007), pp. 92–115. arXiv: math/0601221. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2006.10.009.

[BR]

Georg Biedermann and Oliver Röndigs. Calculus of functors and model categories II. arXiv: 1305.2834.

[Goo03]

Thomas G. Goodwillie. “Calculus. III. Taylor series”. In: Geom. Topol. 7 (2003), 645–711 (electronic). url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2003.7.645.

[Goo90]

Thomas G. Goodwillie. “Calculus. I. The first derivative of pseudoisotopy theory”. In: \(K\)-Theory 4.1 (1990), pp. 1–27. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF00534191.

[Goo92]

Thomas G. Goodwillie. “Calculus. II. Analytic functors”. In: \(K\)-Theory 5.4 (1991/92), pp. 295–332. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF00535644.

[GW99]

Thomas G. Goodwillie and Michael Weiss. “Embeddings from the point of view of immersion theory. II”. In: Geom. Topol. 3 (1999), 103–118 (electronic). url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.1999.3.103.

[Heu]

Gijs Heuts. Goodwillie approximations to higher categories. arXiv: 1510.03304.

[Joh95]

Brenda Johnson. “The derivatives of homotopy theory”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 347.4 (1995), pp. 1295–1321. url: http://dx.doi.org/10.2307/2154811.

[Kuh07]

Nicholas J. Kuhn. “Goodwillie towers and chromatic homotopy: an overview”. In: Proceedings of the Nishida Fest (Kinosaki 2003). Vol. 10. Geom. Topol. Monogr. Geom. Topol. Publ., Coventry, 2007, pp. 245–279. arXiv: math/0410342. url: http://dx.doi.org/10.2140/gtm.2007.10.245.

[Lur]

Jacob Lurie. \((\infty ,2)\)-Categories and the Goodwillie Calculus I. arXiv: 0905.0462.

[Mun]

Brian A. Munson. Introduction to the manifold calculus of Goodwillie-Weiss. arXiv: 1005.1698.

[Rez]

Charles Rezk. A streamlined proof of Goodwillie’s n-excisive approximation. arXiv: 0812.1324.

[Wei95]

Michael Weiss. “Orthogonal calculus”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 347.10 (1995), pp. 3743–3796. url: http://dx.doi.org/10.2307/2155204.

[Wei99]

Michael Weiss. “Embeddings from the point of view of immersion theory. I”. In: Geom. Topol. 3 (1999), 67–101 (electronic). url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.1999.3.67.