微積分と関手の微積分との比較

Goodwillie の関手の微積分は, その名の通り, 実関数に対する微分などの操作の類似が, 関手に対して行なえる, ということであるが。 Goodwillie 自身, 論文 [Goo90; Goo92; Goo03] で, 関手の微積分と実関数の微積分とのアナロジーについて説明している。

• 実数の引き算とホモトピーファイバー
• \(n!\) で割ることと対称群 \(\Sigma _n\) の作用による商空間
• 実数での極限とホモトピー極限
• Taylor展開と Taylor tower

Simplicial set の圏の間の homotopy functor の合成について, “chain rule” が Klein と Rognes [KR02] により証明された。スペクトラムの圏の間の functor については Ching の[Chi10] がある。Ching は Arone と一緒に [AC11] で Klein と Rognes の chain rule の拡張を行なっている。 Bauer と Johnson と Osborne と Riehl と Tebbe [Bau+] によると, Yeakel の 2016年の thesis で, 別の方法が述べられているらしい。

• functor calculus での chain rule

合成関数の高階導関数に対しては, Faà di Bruno の公式が chain rule に対応するものであるが, その公式は階乗を用いた複雑なものである。 別のアプローチとして, Huang と Marcantognini と Young の [HMY06] で提案されている, higher directional derivative を用いたものがある。 その functor calculus 版が Johnson と McCarthy [JM04] により得られている。1階微分のみであり, Abelian category の間の functor について, であるが。 その higher derivative への一般化が Bauer らの [Bau+] で得られている。

References

[AC11]

Greg Arone and Michael Ching. “Operads and chain rules for the calculus of functors”. In: Astérisque 338 (2011), pp. vi+158. arXiv: 0902.0399.

[Bau+]

Kristine Bauer, Brenda Johnson, Christina Osborne, Emily Riehl, and Amelia Tebbe. Directional derivatives and higher order chain rules for abelian functor calculus. arXiv: 1610.01930.

[Chi10]

Michael Ching. “A chain rule for Goodwillie derivatives of functors from spectra to spectra”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 362.1 (2010), pp. 399–426. arXiv: 0710.5567. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-09-04834-X.

[Goo03]

Thomas G. Goodwillie. “Calculus. III. Taylor series”. In: Geom. Topol. 7 (2003), 645–711 (electronic). url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2003.7.645.

[Goo90]

Thomas G. Goodwillie. “Calculus. I. The first derivative of pseudoisotopy theory”. In: \(K\)-Theory 4.1 (1990), pp. 1–27. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF00534191.

[Goo92]

Thomas G. Goodwillie. “Calculus. II. Analytic functors”. In: \(K\)-Theory 5.4 (1991/92), pp. 295–332. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF00535644.

[HMY06]

H.-N. Huang, S. A. M. Marcantognini, and N. J. Young. “Chain rules for higher derivatives”. In: Math. Intelligencer 28.2 (2006), pp. 61–69. url: https://doi.org/10.1007/BF02987158.

[JM04]

B. Johnson and R. McCarthy. “Deriving calculus with cotriples”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 356.2 (2004), 757–803 (electronic). url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-03-03318-X.

[KR02]

John R. Klein and John Rognes. “A chain rule in the calculus of homotopy functors”. In: Geom. Topol. 6 (2002), 853–887 (electronic). url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2002.6.853.