Taylor tower (Goodwillie tower)

Goodwillie が [Goo03] で定義した Taylor tower は, 関手の微積分の理論で中心的役割を果すものである。 もともと Waldhausen の algebraic \(K\)-theory of spaces を調べることが動機だったが, Arone と Mahowald の仕事 [AM99] により, ホモトピー論の研究者に注目されることとなった。 Goodwillie は, Taylor tower と呼んだが, 一般には Goodwillie tower と呼ばれることが多い。

Goodwillie tower を理解するには, まずは[Goo03] を読むべきだろう。その際, 空間の cubical diagram や homotopy limit については, [Goo92] を適宜参照しならが読むとよい。 我慢強い人は, [Goo92] を先に勉強しておいてからでもよい。Tower の各段階の構成の改良版としては, Eldred の [Eld] がある。

Goodwillie tower の設定は, 次のようなものである。 \(\bm{C}\) を基点付き位相空間の圏 \(\category{Top}_*\), あるいはより, 一般に \(B\) 上の基点付き位相空間の圏 \(\category{Top}\downarrow B\) とし, \(\bm{D}\) を基点付き位相空間の圏または spectrum の圏とする。 そして homotopy functor \[ F : \bm{C} \longrightarrow \bm{D} \] を考えるのである。

まずは functor に対し以下の概念が必要になる。

• \(F\) が \(n\)-excisive であること。

Taylor tower の構成については, B. Johnson や McCarthy らによる cotriple (comonad) を用いて行なうという試みもある。

• Abel圏に値を持つ functor の Taylor tower の cotriple による構成

また, 埋め込みの空間については, cosimplicial space の \(\mathrm{Tot}\)-tower として構成するという試み [Sin09; Vola; Volb] もある。

通常の微積分と比較して最も大きく異なる点は, Taylor展開での和が fibration の tower になっていることだろう。 つまり, 各\(n\)次 homogeneous layor が独立にあ るのではなく, “connecting homomorphism” で繋がっているのである。Weiss の orthgonal calculus の場合も含め, tower の “connecting homomorphism” については, Arone と Dwyer と Lesh の [ADL08] や Behrens の [Beh11] で調べられている。

また, 各 homogeneous layor \(DF_n(X)\) は \(\Sigma _n\) の作用する spectrum \(\partial _nF\) を「係数」とし \[ DF_n(X) \relation{\simeq }{w} \Omega ^{\infty }(\partial _nF\wedge X^{\wedge n})_{h\Sigma _n} \] と表わせる。

Arone と Ching [ACa] は, この「微分係数」 \(\partial _nF\) の列に情報を付加することにより, Taylor tower 全体を再構築することを考えている。その情報とは, 彼等の論文の続編 [ACb; ACc] によると little disk operad の Koszul dual に関 連した comonad の coaction のようである。

References

[ACa]

Gregory Arone and Michael Ching. A classification of Taylor towers of functors of spaces and spectra. arXiv: 1209.5661.

[ACb]

Gregory Arone and Michael Ching. Cross-effects and the classification of Taylor towers. arXiv: 1404.1417.

[ACc]

Gregory Arone and Michael Ching. Manifolds, \(K\)-theory and the calculus of functors. arXiv: 1410.1809.

[ADL08]

Gregory Z. Arone, William G. Dwyer, and Kathryn Lesh. “Loop structures in Taylor towers”. In: Algebr. Geom. Topol. 8.1 (2008), pp. 173–210. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2008.8.173.

[AM99]

Greg Arone and Mark Mahowald. “The Goodwillie tower of the identity functor and the unstable periodic homotopy of spheres”. In: Invent. Math. 135.3 (1999), pp. 743–788. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002220050300.

[Beh11]

Mark Behrens. “The Goodwillie tower for \(S^1\) and Kuhn’s theorem”. In: Algebr. Geom. Topol. 11.4 (2011), pp. 2453–2475. arXiv: 1012.0810. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2011.11.2453.

[Eld]

Rosona Eldred. Cosimplicial models for the limit of the Goodwillie tower. arXiv: 1108.0114.

[Goo03]

Thomas G. Goodwillie. “Calculus. III. Taylor series”. In: Geom. Topol. 7 (2003), 645–711 (electronic). url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2003.7.645.

[Goo92]

Thomas G. Goodwillie. “Calculus. II. Analytic functors”. In: \(K\)-Theory 5.4 (1991/92), pp. 295–332. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF00535644.

[Sin09]

Dev P. Sinha. “The topology of spaces of knots: cosimplicial models”. In: Amer. J. Math. 131.4 (2009), pp. 945–980. arXiv: math/0202287. url: http://dx.doi.org/10.1353/ajm.0.0061.

[Vola]

Ismar Volic. Configuration space integrals and Taylor towers for spaces of knots. arXiv: math/0401282.

[Volb]

Ismar Volic. Finite type knot invariants and calculus of functors. arXiv: math/0401440.