空間の cubical diagram

ホモトピー関手に対し, 関手の微積分を行う (Taylor tower を構成する) ときの基礎となるのが, 空間の cubical diagram, つまり (高次元) 立方体の形をした small category を定義域とする関手である。 参考文献は, Goodwillie の元の論文 [Goo92] が良いと思う。 Klein と Goodwillie の [GK08] の Appendix B にもまとめがある。 最近 Munson と Volić による本 [MV15] が出た。タイトルが, 一見 cubical set のホモトピー論のように見えてしまうが, cubical diagram の homotopy theory に関する本である。

• 空間の \(n\)-cube (\(n\)-cube of spaces)
• 空間の \(n\)-cube \(X\) に対しその total fiber \(\tilde{f}X\)
• 空間の \(n\)-cube \(X\) を \((n-1)\)-cube の morphism \[ Y \longrightarrow Z \] とみなしたとき, \(\tilde{f}X\) は自然な写像 \[ \tilde{f}Y \longrightarrow \tilde{f}Z \] の homotopy fiber と同相であること
• 空間の \(n\)-cube が Cartesian であること
• 空間の \(n\)-cube が strongly Cartesian であること
• 空間の \(n\)-cube が \(k\)-Cartesian であること
• 空間の \(n\)-cube が pull-back cube であること

以上のことはすべて dualize できる。

• 空間の \(n\)-cube が co-Cartesian であること
• 空間の \(n\)-cube が strongly co-Cartesian であること
• 空間の \(n\)-cube が \(k\)-co-Cartesian であること
• 空間の \(n\)-cube が push-out cube であること

Goodwillie は, homotopy functor が空間の cubical diagram の性質をどのように変えるかにより, その functor を調べる方法を考えた。

• homotopy functor が \(n\)-excisive であること
• homotopy functor が stably \(n\)-excisive であること

Homotopy functor に対する “excisive” という概念は, Waldhausen により [Wal85] で導入されたようである。Waldhausen の意味の excisive functor は, だいたい Goodwillie の \(1\)-excisive に対応する。

Cubical diagram の total fiber や total cofiber を一般化し, 空間の可換図式とその部分図式が与えられたとき, その total fiber や total cofiber を考えることもできる。Hüttemann の [Hüt05] などである。

References

[GK08]

Thomas G. Goodwillie and John R. Klein. “Multiple disjunction for spaces of Poincaré embeddings”. In: J. Topol. 1.4 (2008), pp. 761–803. arXiv: 0801.3980. url: http://dx.doi.org/10.1112/jtopol/jtn022.

[Goo92]

Thomas G. Goodwillie. “Calculus. II. Analytic functors”. In: \(K\)-Theory 5.4 (1991/92), pp. 295–332. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF00535644.

[Hüt05]

Thomas Hüttemann. “Total cofibres of diagrams of spectra”. In: New York J. Math. 11 (2005), pp. 333–343. arXiv: math/0508406. url: http://nyjm.albany.edu:8000/j/2005/11_333.html.

[MV15]

Brian A. Munson and Ismar Volić. Cubical homotopy theory. Vol. 25. New Mathematical Monographs. Cambridge University Press, Cambridge, 2015, pp. xv+631. isbn: 978-1-107-03025-1. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9781139343329.

[Wal85]

Friedhelm Waldhausen. “Algebraic \(K\)-theory of spaces”. In: Algebraic and geometric topology (New Brunswick, N.J., 1983). Vol. 1126. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1985, pp. 318–419. url: http://dx.doi.org/10.1007/BFb0074449.