Cubical set とその変種

Cubical set とは, 簡単に言えば, simplicial set の定義の 単体を, 立方体に変えて得られるものである。 誰が最初に考えたのか知らないが, 私が最初に知ったのは, Serre が Serre spectral sequence の積構造を扱うために使った論文 [Ser51] であった。もちろん, その後も様々な場面で使われている。

Simplicial set 程一般的ではなかったので, あまり解説はなかったが, 最近色々読めるものが出てきた。 Patchkoria の [Pat] では, Kan の [Kan55], Brown と Higgins の [BH81] などが参照されているが, これらが「古典的な」文献と言うべきものだろう。 Fenn と Rourke と Sanderson の [FRS95] も見るとよい。 Martins と Picken の [MP] では, 他に [Jar06; GM03] などが挙げられている。 最近のものでは, Richard Williamson の lecture note [Wil] がある。 より詳しいものとしては, Doherty, Kapulkin, Lindsey, Sattler の [Doh+24] が良さそうである。これらでは Kan condition も扱われている。 ホモトピー群については, Carranza と Kapulkin の [CK23] が詳しい。4つの記述が述べられ, それらが同値であることが示されている。

位相空間について, singular simplicial set を用いて定義した ホモロジー と singular cubical set を用いたものが同型になることについては, 共に Eilenberg-Steenrod の公理をみたすことから分かるが, 例えば Patchkoria の [Pat] に, simplicial derived functor と cubical derived functor が一致することの corollary として述べられている。

Cubical set のホモロジーについては, Husainov が [Hus19; Hus] などで調べている。後者の section 1.1 には, 簡単に歴史が纏めてある。

単体的複体の定義を思い出せば分かるように, 具体的なデータから作られるものには degeneracy を持たないものが多い。 Degeneracy を持たない simplicial set は, \(\Delta \)-set や presimplicial set などと呼ばれて様々な場面で使われているが, degeneracy を持たない cubical set も様々な用途があるようである。もちろん, 単体的複体に対応する cubical complex もある。

• cubical complex
• \(\Box \)-set あるいは precubical set

Fenn と Rourke と Sanderson [FRS95; FRS07] は、 rack や trunk の分類空間の構成に用いている。 並列処理のモデルとしては, higher dimensional automaton (HDA) として登場する。

Cubical set の拡張も色々考えられている。Grandis と Mauri の [GM03] にいくつか書かれている。新しいものでは, Issacson [Isa11] の定義したものがある。

• cubical set with connections
• cubical set with interchanges

Cubical set with connections は Brown と Higgins の [BH81] で Seifert-van Kampen theorem の高次元への一般化ために導入された。ただ, 彼等の論文によると, そのような構造は, 既に Evrard の 1976 の preprint “Homotopie des complexes simpliciaux et cubiques” に登場しているらしい。

近年, 単体的集合は, higher category を扱うために有用であることが認識されるようになり, \((\infty ,1)\)-category の理論や homotopy type theory が盛んに研究されている。ホモトピー論の枠組みとしては cubical set も simplicial set と同等なので, この手のことを cubical set を用いて行おうという試みがあっても不思議ではない。実際, Doherty と Kapulkin と Lindsey と Sattler の [Doh+24] では, quasicategory の cubical 版が提案されている。 そこでは cubical set with connections や marked cubical set などが使われている。

• cubical quasicategory
• marked cubical set

Cubical higher category の試みとして Kachour の [Kac14] もある。

Homotopy type theory については, Bezem と Coquand と Huber の [BCH14] など。

Covez [Cov] は, 群の Leibniz homology に関する Loday の予想との関連で, \(L\)-set という cubical set の変種を定義している。

• \(L\)-set

References

[BCH14]

Marc Bezem, Thierry Coquand, and Simon Huber. “A model of type theory in cubical sets”. In: 19th International Conference on Types for Proofs and Programs. Vol. 26. LIPIcs. Leibniz Int. Proc. Inform. Schloss Dagstuhl. Leibniz-Zent. Inform., Wadern, 2014, pp. 107–128.

[BH81]

Ronald Brown and Philip J. Higgins. “On the algebra of cubes”. In: J. Pure Appl. Algebra 21.3 (1981), pp. 233–260. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(81)90018-9.

[CK23]

Daniel Carranza and Krzysztof Kapulkin. “Homotopy groups of cubical sets”. In: Expo. Math. 41.4 (2023), Paper No. 125518, 55. arXiv: 2202.03511. url: https://doi.org/10.1016/j.exmath.2023.125518.

[Cov]

Simon Covez. Rack homology and conjectural Leibniz homology. arXiv: 1402.1625.

[Doh+24]

Brandon Doherty, Krzysztof Kapulkin, Zachery Lindsey, and Christian Sattler. “Cubical models of \((\infty ,1)\)-categories”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 297.1484 (2024), pp. v+110. arXiv: 2005.04853. url: https://doi.org/10.1090/memo/1484.

[FRS07]

Roger Fenn, Colin Rourke, and Brian Sanderson. “The rack space”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 359.2 (2007), pp. 701–740. arXiv: math/0304228. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-06-03912-2.

[FRS95]

Roger Fenn, Colin Rourke, and Brian Sanderson. “Trunks and classifying spaces”. In: Appl. Categ. Structures 3.4 (1995), pp. 321–356. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF00872903.

[GM03]

Marco Grandis and Luca Mauri. “Cubical sets and their site”. In: Theory Appl. Categ. 11 (2003), No. 8, 185–211.

[Hus]

Ahmet A. Husainov. Homology and cohomology of cubical sets with coefficients in systems of objects. arXiv: 2207.07233.

[Hus19]

Ahmet A. Husainov. “Homology groups of cubical sets”. In: Appl. Categ. Structures 27.2 (2019), pp. 199–216. arXiv: 1801.03324. url: https://doi.org/10.1007/s10485-018-9550-2.

[Isa11]

Samuel B. Isaacson. “Symmetric cubical sets”. In: J. Pure Appl. Algebra 215.6 (2011), pp. 1146–1173. arXiv: 0910.4948. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2010.08.001.

[Jar06]

J. F. Jardine. “Categorical homotopy theory”. In: Homology, Homotopy Appl. 8.1 (2006), pp. 71–144. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1140012467.

[Kac14]

Camell Kachour. “Aspects of globular higher category theory”. In: Bull. Aust. Math. Soc. 90.1 (2014), pp. 172–173. arXiv: 1702.00336. url: https://doi.org/10.1017/S0004972714000288.

[Kan55]

Daniel M. Kan. “Abstract homotopy. I”. In: Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 41 (1955), pp. 1092–1096.

[MP]

Joao Faria Martins and Roger Picken. A Cubical Set Approach to 2-Bundles with Connection and Wilson Surfaces. arXiv: 0808.3964.

[Pat]

Irakli Patchkoria. Comparison of Cubical and Simplicial Derived Functors. arXiv: 1011.4870.

[Ser51]

Jean-Pierre Serre. “Homologie singulière des espaces fibrés. Applications”. In: Ann. of Math. (2) 54 (1951), pp. 425–505. url: http://dx.doi.org/10.2307/1969485.

[Wil]

Richard Williamson. Combinatorial homotopy theory. url: http://rwilliamson-mathematics.info/combinatorial_homotopy_theory/combinatorial_homotopy_theory.html.