Rack

Rack とは, self-distributivity をみたす binary operation \(\rhd : X\times X\to X\) を持ち, 各 \(x\in X\) に対し \(x\rhd (-) : X\to X\) が全単射になる集合のことである。正確には, left rack と呼ぶべきであるが。 全単射を仮定しないものを, shelf と呼ぶ。 群などと比べると, あまり一般的ではない代数的構造であるが, かなり古くから考えられてきて, 何度も再発見されているもののようである。

Eisermann の [Eis14] には, rackは, 最初 Brieskorn [Bri88] により automorphic set という名前で定義されたように書いてあるが, Jackson の [Jac05] には, 1959年に Conway と Wraith により最初に調べられたと書いてある。更に, Przytycki の [Prz15] によると, self-distributive な構造は, 19世紀に既に Peirce の [Pei80] に登場しているらしい。

最も基本的な例は, 群の自分自身への conjugation での作用による rack であるが, これはもう少し良い性質を持ち quandle というものになる。他にも類似の構造は色々知られている。

• quandle や rack などの一般化

群の conjugation から得られるものの他に, Euclid空間での reflection を用いて作られる Coxeter rack というものがある。Nelson と Wieghard の [NW11] では, \(\R \) を任意の可換環にした Coxeter rack の一般化が考えられている。

• Coxeter rack

Coxeter rack は quandle の条件をみたさない rack の例であるが, ちょっと修正すれば quandle にできる。一般に, 任意の rack は quandle に変形することができる。

• rack と quandle の対応

このことも含めた, rack の代数的な構造については, pointed Hopf algebra との関係について調べた, Andruskiewitsch と Graña の [AG03] を読むのがよいと思う。 “Preliminaries” として, 基本的なことがまとめられているので便利である。 このように純粋に代数的に rack を調べるときには, まず基本となるのが, rack に associate した群である。

• rack の enveloping group
• rack の inner automorphism group
• rack の outer automorphism group

群に関係したものとしては, Crans と Wagemann [CW14] による crossed module の rack への一般化がある。

• rack の crossed module

Andruskiewitsch と Graña が rack を調べた motivation は, finite pointed Hopf algebra の分類であるが, その問題は, 「有限単純群の分類の非可換版」 と考えることができるだろう。類似の問題として finite simple rack の分類問題が考えられるが, Andruskiewitsch と Graña は simple rack を定義し, finite simple rack を分類している。

• rack の extension
• simple rack

Hopf algebra の分類の視点からは, ある種の rack が重要となる。 Andruskiewitsch, Fantino, Garcia, Vendramin [And+10] によると, pointed Hopf algebra の分類の視点からは, type D の rack が重要らしい。 Heckenberger と Lochmann と Vendramin [HLV12] は, braided rack という構造を考えている。Quandle の一種なので, braided quandle と呼んだ方がよいと思うが。

Rack の (コ)ホモロジーは, Fenn と Rourke と Sanderson の preprint で, rack に associate した空間 (rack space) の(コ)ホモロジーとして定義された。 その内容は, [FRS07] としてarXivにある。

• rack space あるは rack の分類空間
• rack や quandle の (コ)ホモロジー

Free simplicial rack や free simplicial quandle のホモトピー型については, Lawson と Szymik の [LS] で調べられ, Milnor の free simplicial group について結果の類似が得られている。

• free rack
• free quandle
• free simplicial rack
• free simplicial quandle

Free rack や free quandle については, この Lawson と Szymik の論文にも書かれているが, そこでは Joyce の [Joy82], Krüger の thesis [Krü90], Dehornoy の本 [Deh00], Fenn と Rourke の [FR92], そして Farinati, Guccione, Guccione の [FGG14] が参照されている。

Rack の作用も色々考えられている。群の類似としては, 集合への作用がまず考えられる。Chang と Nelson [CN11] は, rack の作用を持つ集合を rack shadow と呼んでいる。 コホモロジーを考えるときには, 局所係数あるいは sheaf のようなものを考えないといけない。Jackson の [Jac05] などがある。Crossed module の類似としては, Crans と Wagemann [CW14] で定義されているものがある。

群の表現がその group algebra の表現であることから, rack の加群への作用を 考えるときには, rack algebra を定義し, その表現を考えるのが, 一つの方法である。そのアイデアで rack や quandle から associative algebra を定義したものとして, Andruskiewitsch と Graña の [AG03] や Haas, Heckel, Nelson, Yuen, Zhang の [Haa+12] がある。 一方, rack の構造をそのまま線形化し, non-associative algebra を定義して いるのが, Bardakov, Passi, Singh の [BPS19] である。 どちらを rack algebra と呼ぶべきなのだろうか。

Rack は分類空間を持つことから, 対象が一つの小圏が monoid, あるいはmonoidの “many-objectification” が小圏であるように, rack の many-objectification が何かというのは自然な疑問である。その解答は, Fenn と Rourke と Sanderson [FRS95] により与えられている。 Quiver に四角の oriented cycle の集合を指定しただけの, 非常に単純なものである。彼らはその分類空間も構成している。その構成では, simplicial set ではなく, degeneracy を持たない cubical set が使われている。

• trunk
• \(\Box \)-set
• trunk の分類空間

群に対しては, 位相を持った位相群があるので, rackや quandle に対しても topological rackや topological quandleが考えられていても不思議ではない。 実際, Rubinsztein の [Rub07] や Elhamdadi と Moutuou の [EM16] などがある。

• topological rack や topological quandle

もちろん, 位相空間の圏を他の monoidal categoryに変えることもできる。 例えば, coalgebraの圏 “rack object” が, Alexandre と Bordemann の [Ale+16] で導入されている。 Coalgebra の圏での monoid object が bialgebra と呼ばれることから, 彼等はそのような構造を rack bialgebra と呼んでいる。

• rack bialgebra

References

[AG03]

Nicolás Andruskiewitsch and Matías Graña. “From racks to pointed Hopf algebras”. In: Adv. Math. 178.2 (2003), pp. 177–243. arXiv: math/0202084. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0001-8708(02)00071-3.

[Ale+16]

C. Alexandre, M. Bordemann, S. Rivière, and F. Wagemann. “Structure theory of rack-bialgebras”. In: J. Gen. Lie Theory Appl. 10.1 (2016), Art. ID 1000244, 20. arXiv: 1412.5907. url: https://doi.org/10.4172/1736-4337.1000244.

[And+10]

N. Andruskiewitsch, F. Fantino, G. A. García, and L. Vendramin. “On twisted homogeneous racks of type D”. In: Rev. Un. Mat. Argentina 51.2 (2010), pp. 1–16. arXiv: 1007.1739.

[BPS19]

Valeriy G. Bardakov, Inder Bir S. Passi, and Mahender Singh. “Quandle rings”. In: J. Algebra Appl. 18.8 (2019), pp. 1950157, 23. arXiv: 1709.03069. url: https://doi.org/10.1142/S0219498819501573.

[Bri88]

E. Brieskorn. “Automorphic sets and braids and singularities”. In: Braids (Santa Cruz, CA, 1986). Vol. 78. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1988, pp. 45–115. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/078/975077.

[CN11]

Wesley Chang and Sam Nelson. “Rack shadows and their invariants”. In: J. Knot Theory Ramifications 20.9 (2011), pp. 1259–1269. arXiv: 0910.3002. url: https://doi.org/10.1142/S0218216511009315.

[CW14]

Alissa S. Crans and Friedrich Wagemann. “Crossed modules of racks”. In: Homology Homotopy Appl. 16.2 (2014), pp. 85–106. arXiv: 1310.4705. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2014.v16.n2.a5.

[Deh00]

Patrick Dehornoy. Braids and self-distributivity. Vol. 192. Progress in Mathematics. Basel: Birkhäuser Verlag, 2000, pp. xx+623. isbn: 3-7643-6343-6. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-0348-8442-6.

[Eis14]

Michael Eisermann. “Yang-Baxter deformations and rack cohomology”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 366.10 (2014), pp. 5113–5138. arXiv: 0808.0108. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-2014-05785-1.

[EM16]

Mohamed Elhamdadi and El-Kaı̈oum M. Moutuou. “Foundations of topological racks and quandles”. In: J. Knot Theory Ramifications 25.3 (2016), pp. 1640002, 17. arXiv: 1506 . 00084. url: https://doi.org/10.1142/S0218216516400022.

[FGG14]

M. Farinati, J. A. Guccione, and J. J. Guccione. “The homology of free racks and quandles”. In: Comm. Algebra 42.8 (2014), pp. 3593–3606. url: https://doi.org/10.1080/00927872.2013.790392.

[FR92]

Roger Fenn and Colin Rourke. “Racks and links in codimension two”. In: J. Knot Theory Ramifications 1.4 (1992), pp. 343–406. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0218216592000203.

[FRS07]

Roger Fenn, Colin Rourke, and Brian Sanderson. “The rack space”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 359.2 (2007), pp. 701–740. arXiv: math/0304228. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-06-03912-2.

[FRS95]

Roger Fenn, Colin Rourke, and Brian Sanderson. “Trunks and classifying spaces”. In: Appl. Categ. Structures 3.4 (1995), pp. 321–356. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF00872903.

[Haa+12]

Aaron Haas, Garret Heckel, Sam Nelson, Jonah Yuen, and Qingcheng Zhang. “Rack module enhancements of counting invariants”. In: Osaka J. Math. 49.2 (2012), pp. 471–488. arXiv: 1008.0114. url: http://projecteuclid.org/euclid.ojm/1340197935.

[HLV12]

I. Heckenberger, A. Lochmann, and L. Vendramin. “Braided racks, Hurwitz actions and Nichols algebras with many cubic relations”. In: Transform. Groups 17.1 (2012), pp. 157–194. arXiv: 1103.4526. url: https://doi.org/10.1007/s00031-012-9176-7.

[Jac05]

Nicholas Jackson. “Extensions of racks and quandles”. In: Homology Homotopy Appl. 7.1 (2005), pp. 151–167. arXiv: math/0408040. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1139839510.

[Joy82]

David Joyce. “A classifying invariant of knots, the knot quandle”. In: J. Pure Appl. Algebra 23.1 (1982), pp. 37–65. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(82)90077-9.

[Krü90]

Bertolt Krüger. Automorphe Mengen und die artinschen Zopfgruppen. Vol. 207. Bonner Mathematische Schriften [Bonn Mathematical Publications]. Dissertation, Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn, Bonn, 1989. Universität Bonn, Mathematisches Institut, Bonn, 1990, p. 111.

[LS]

Tyler Lawson and Markus Szymik. The homotopy types of free racks and quandles. arXiv: 2106.01299.

[NW11]

Sam Nelson and Ryan Wieghard. “Link invariants from finite Coxeter racks”. In: J. Knot Theory Ramifications 20.9 (2011), pp. 1247–1257. arXiv: 0808.1584. url: https://doi.org/10.1142/S0218216511009273.

[Pei80]

C. S. Peirce. “On the Algebra of Logic”. In: Amer. J. Math. 3.1 (1880), pp. 15–57. url: https://doi.org/10.2307/2369442.

[Prz15]

Józef H. Przytycki. “Knots and distributive homology: from arc colorings to Yang-Baxter homology”. In: New ideas in low dimensional topology. Vol. 56. Ser. Knots Everything. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2015, pp. 413–488. arXiv: 1409.7044. url: http://dx.doi.org/10.1142/9789814630627_0011.

[Rub07]

Ryszard L. Rubinsztein. “Topological quandles and invariants of links”. In: J. Knot Theory Ramifications 16.6 (2007), pp. 789–808. arXiv: math/0508536. url: https://doi.org/10.1142/S0218216507005518.