あまり一般的でない代数的対象

代数的トポロジーは, 多様体, 位相空間, simplicial set といった幾何学的な対象に対し, 代数的対象を対応させることにより研究する分野である。 それらの幾何学的対象は, 言うまでもなく非常に複雑であり, その構造を反映させるために, 必然的に複雑な代数的対象を扱わざるを得なくなる。 代数学の研究者があまり見たことがないようなものも扱う。

まずは群の一般化や変種である。

• monoid とその一般化 (partial monoid や semigroup や pseudogroup など)
• groupoid
• algebraic loop や quasigroup
• square group
• GR-category や categorical group や \(2\)-group
• monoidal groupoid
• categorical ring [JP07]
• crossed module と 関連した概念
• quandle や rack などの, self-distributive algebraic structure
• heap と quantum heap

Square group は Abel群にかなり近いものらしい。Baues と Jibladze と Pirashvili の [BJP08]で, tensor product が定義されている。

Categorical group は [QTC11] では, GR-category と呼ばれている。 全ての object が invertible である monoidal category で, category として groupoid になっているものである。全てが strict なものが \(2\)-group である。 また object が invertible であるという条件を除いたのもの, つまり単に monoidal structure を持つ groupoid は, [CCH13] では monoidal groupoid と呼ばれている。

環は, Abel群の圏の monoid object であるが, Abelian monoid の圏の monoid object, つまり環の定義から加法に関する逆元の存在を除いたもの, を rig と呼ぶ人がいる。 Semiring と呼ぶ人もいる。

• semiring

演算が部分的にしか定義されていないような代数的構造も, 色々ある。

• partially defined algebraic structures

Positselski は, その長い論文 [Pos10] の中で coalgebra 上の bicomodule の圏のなす tensor category でのring object のことを semialgebra と呼んでいる。一方, Brzezinski は bimodule の category での comonoid object のことを coring と呼んでいる。 Brzezinski と Wisbauer の本 [BW03] がある。

• semialgebra
• coring

既存の代数的構造に位相を入れたものもよく使われる。

• 位相を持った代数的構造

Connes と Consani [CC11; CC10] は, Krasner の [Kra83] で導入された hyperring や hyperfield という代数的構造を使っている。 環と同様に和と積の二つの演算を持つが, 二つの元の和が部分集合になるものである。 その underlying structure として hypermonoid や hypergroup という概念がある。

• hyperalgebraic structures

Connes と Consani 以外にも, Baker [BB] が matroid の一般化を定義するのに使っている。 Baker は Bowler との共著 [BB19] で, hyperfield や Semple と Whittle [SW96] の partial field の一般化として, tract という構造を導入している。これも matroid の一般化のためである。

• partial field
• tract

同様に matroid の係数に使う目的でずっと以前に考えられたものとして Dress が [Dre86] で導入した fuzzy ring がある。

• fuzzy ring

Hyperfield と fuzzy ring の関係は, Giansiracusa, Jun, Lorscheid [GJL17] が調べている。彼等は hyperfield の category を fuzzy ring の category へ埋め込むことに成功している。

更に, supertropical semiring, hyperfield, fuzzy ring, tract, layered semiring [IKR13], exploded semiring [Par15], ELT-algebra [BS] の共通の一般化として, Rowen [Row22] が system という構造を導入している。 このような一般的に使われる単語を特定の構造の名前として使うのは, 良くないと思う。名前からその構造がすぐ想起できるものがよい。 ただ, これだけ様々な代数的構造があると, それぞれに適切な名前を考えるのも難しいことは, 分かる。

• layered semiring
• exploded semiring
• ELT-algebra
• Rowen の意味の system

複素コボルディズムや, その他一般 (コ) ホモロジー論も, 複雑な 代数的対象の“よい”供給源である。

• Hopf algebroid
• Hopf ring
• Tall-Wraith monoid [TW70; BW05; SW]
• formal group law

結合法則をみたさない代数として 八元数に代表される alternative algebraというものがある。他にもJordan algebraなど, nonassociative algebraは様々な場面で登場する。

• nonassociative algebra

古典的な代数的構造を一般化するときには, operad を使うのも一つの方法である。例えば, 既存の構造を“up to homotopy” にする場合や複数の入力を持つものを考える場合など。積が複数の operation の和で表わされる Loday algebra というものもある。

• operad 上の algebra
• 複数の入力を持つ代数的構造
• Loday algebra

複数の演算を持つものとしては, Loday algebra 以前に環がある。 他にも, 様々なものが考えられている。

• 複数の演算を持つ代数的構造

代数的構造を, 自己準同型により捻ったものは Hom-algebra と呼ばれている。 様々な変種が定義されている。

• Hom-type algebras

Gerstenhaber と Schack により [GS83b; GS83a; GS88] などで調べられている algebra の diagram, つまり poset や small category から algebra の category への functor も algebra の一般化と考えることができる。 より一般には, small category から \(k\)-linear category への functor, 特殊な場合として群の algebra への作用, その間の子として群の \(k\)-linear category への作用などがある。

• presheaf
• diagrams of algebras
• categories with group actions

References

[BB]

Matthew Baker and Nathan Bowler. Matroids over hyperfields. arXiv: 1601.01204.

[BB19]

Matthew Baker and Nathan Bowler. “Matroids over partial hyperstructures”. In: Adv. Math. 343 (2019), pp. 821–863. arXiv: 1709.09707. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2018.12.004.

[BJP08]

H.-J. Baues, M. Jibladze, and T. Pirashvili. “Quadratic algebra of square groups”. In: Adv. Math. 217.3 (2008), pp. 1236–1300. arXiv: math/0601777. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2007.08.007.

[BS]

Guy Blachar and Erez Sheiner. ELT Linear Algebra. arXiv: 1603. 02204.

[BW03]

Tomasz Brzezinski and Robert Wisbauer. Corings and comodules. Vol. 309. London Mathematical Society Lecture Note Series. Cambridge: Cambridge University Press, 2003, pp. xii+476. isbn: 0-521-53931-5. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511546495.

[BW05]

James Borger and Ben Wieland. “Plethystic algebra”. In: Adv. Math. 194.2 (2005), pp. 246–283. arXiv: math / 0407227. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2004.06.006.

[CC10]

Alain Connes and Caterina Consani. “From monoids to hyperstructures: in search of an absolute arithmetic”. In: Casimir force, Casimir operators and the Riemann hypothesis. Walter de Gruyter, Berlin, 2010, pp. 147–198. arXiv: 1006.4810.

[CC11]

Alain Connes and Caterina Consani. “The hyperring of adèle classes”. In: J. Number Theory 131.2 (2011), pp. 159–194. arXiv: 1001.4260. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jnt.2010.09.001.

[CCH13]

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[Dre86]

Andreas W. M. Dress. “Duality theory for finite and infinite matroids with coefficients”. In: Adv. in Math. 59.2 (1986), pp. 97–123. url: http://dx.doi.org/10.1016/0001-8708(86)90047-2.

[GJL17]

Jeffrey Giansiracusa, Jaiung Jun, and Oliver Lorscheid. “On the relation between hyperrings and fuzzy rings”. In: Beitr. Algebra Geom. 58.4 (2017), pp. 735–764. arXiv: 1607 . 01973. url: https://doi.org/10.1007/s13366-017-0347-5.

[GS83a]

M. Gerstenhaber and S. D. Schack. “On the deformation of algebra morphisms and diagrams”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 279.1 (1983), pp. 1–50. url: http://dx.doi.org/10.2307/1999369.

[GS83b]

Murray Gerstenhaber and Samuel D. Schack. “Simplicial cohomology is Hochschild cohomology”. In: J. Pure Appl. Algebra 30.2 (1983), pp. 143–156. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(83)90051-8.

[GS88]

Murray Gerstenhaber and Samuel D. Schack. “The cohomology of presheaves of algebras. I. Presheaves over a partially ordered set”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 310.1 (1988), pp. 135–165. url: http://dx.doi.org/10.2307/2001114.

[IKR13]

Zur Izhakian, Manfred Knebusch, and Louis Rowen. “Categorical notions of layered tropical algebra and geometry”. In: Algebraic and combinatorial aspects of tropical geometry. Vol. 589. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2013, pp. 191–234. arXiv: 1207. 3487. url: https://doi.org/10.1090/conm/589/11746.

[JP07]

M. Jibladze and T. Pirashvili. “Third Mac Lane cohomology via categorical rings”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 2.2 (2007), pp. 187–216. arXiv: math/0608519.

[Kra83]

Marc Krasner. “A class of hyperrings and hyperfields”. In: Internat. J. Math. Math. Sci. 6.2 (1983), pp. 307–311. url: http://dx.doi.org/10.1155/S0161171283000265.

[Par15]

Brett Parker. “Holomorphic curves in exploded manifolds: compactness”. In: Adv. Math. 283 (2015), pp. 377–457. arXiv: 0706. 3917. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2015.07.011.

[Pos10]

Leonid Positselski. Homological algebra of semimodules and semicontramodules. Vol. 70. Instytut Matematyczny Polskiej Akademii Nauk. Monografie Matematyczne (New Series) [Mathematics Institute of the Polish Academy of Sciences. Mathematical Monographs (New Series)]. Semi-infinite homological algebra of associative algebraic structures, Appendix C in collaboration with Dmitriy Rumynin; Appendix D in collaboration with Sergey Arkhipov. Birkhäuser/Springer Basel AG, Basel, 2010, pp. xxiv+349. isbn: 978-3-0346-0435-2. arXiv: 0708.3398. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-0346-0436-9.

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[SW]

Andrew Stacey and Sarah Whitehouse. Tall-Wraith Monoids. arXiv: 1102.3549.

[SW96]

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[TW70]

D. O. Tall and G. C. Wraith. “Representable functors and operations on rings”. In: Proc. London Math. Soc. (3) 20 (1970), pp. 619–643. url: https://doi.org/10.1112/plms/s3-20.4.619.