Hopf ring

Hopf ring は, Ravenel と Wilson [RW77; RW80] により導入された概念である。 Ravenel と Wilson の論文, 特に [RW80]は読みやすい。 また Wilson による解説 [Wil82; Wil00] もある。最も新しい [Wil00]は, “soft introduction” として書かれたものらしい。 Hill と Hopkins の [HH] の section 1.1にもまとめがある。 そこでは, 一般の symmetric monoidal category で cocommutative comonoid (coalgebra) の category での commutative ring object として定義されている。可換性を仮定せず, 単に ring object と定義するのがいいと思うが。

2016年11月9日の 信州トポロジーセミナーでの講演で, 柏原氏は coalgebraic ring と呼ぶことを提案していた。Wilson 自身, 彼の解説 [Wil82] で, “coalgebraic ring” と呼ぶべき, と書いている。 Coalgebra の category での ring object なのだから, 妥当な名前である。 しかしながら, Ravenel と Wilson の論文で “Hopf ring” と呼んでしまって, それが定着してしまった, ということのようである。 残念ながら coalgebraic ring という呼び名は一般的にはなっていないようなので, ここでは Hopf ring と呼ぶことにする。 Hill と Hopkins も Hopf ring と呼んでいるし。

Ravenel と Wilson は, 積を持つ spectrum \(E\) に associateした 無限ループ空間 \(E_0, E_1, \ldots \) のホモロジーを調べる際に, 積を与える写像 \[ \circ : E_m \times E_n \longrightarrow E_{m+n} \] が非常に有効であることを発見した。この写像が, bar spectral sequence の間の写像を誘導するからである。

Boardman と Johnson と Wilson の [BJW95] にあるように, 一般ホモロジーでの unstable homology cooperation と密接な関係にある。

Wilson を中心に, 様々な ring spectrum に associate した \(\Omega \)-spectrum の Hopf ring が計算されている。

• \(\mathrm {MU}\) [RW77]
• Eilenberg-Mac Lane spectrum の Morava \(K\)-theory [RW80]
• connective Morava \(K\)-spectrum [Har91]
• Real Johnson-Wilson spectrum [KW07]
• sphere spectrum [Cho16]

別の系統のものとして, Giusti, Salvatore, Sinha の [GSS] がある。 最初に Hopf ring の構造を発見したのは Strickland と Turner [ST97] のようであるが。

• 対称群のコホモロジーの成す Hopf ring

Giusti らの論文で調べられているのは mod \(2\) cohomology であるが, 奇素数版は, Guerra の [Gue17] で調べられている。

Guerra [Gue23] は, type \(B_{n}\) の Coxeter group の場合の Hopf ring 構造を調べている。また type \(D_{n}\) の場合は Hopf ring にならないが, それに近い構造を持つ。それを記述するために almost-Hopf ring という概念を導入した。

• almost-Hopf ring

Hopf ring は commutative coalgebra の圏の ring object であるが, [BH96] では commutative algebra の圏の co-ring object が扱われている。

群の作用がある spectrum については, 例えば, Petersen の [Pet] がある。

References

[BH96]

George M. Bergman and Adam O. Hausknecht. Co-groups and co-rings in categories of associative rings. Vol. 45. Mathematical Surveys and Monographs. Providence, RI: American Mathematical Society, 1996, pp. x+388. isbn: 0-8218-0495-2.

[BJW95]

J. Michael Boardman, David Copeland Johnson, and W. Stephen Wilson. “Unstable operations in generalized cohomology”. In: Handbook of algebraic topology. Amsterdam: North-Holland, 1995, pp. 687–828. url: http://dx.doi.org/10.1016/B978-044481779-2/50016-X.

[Cho16]

Phan Hoàng Chon. “Modular coinvariants and the mod \(p\) homology of \(QS^k\)”. In: Proc. Lond. Math. Soc. (3) 112.2 (2016), pp. 351–374. arXiv: 1412.7588. url: https://doi.org/10.1112/plms/pdv073.

[GSS]

Chad Giusti, Paolo Salvatore, and Dev Sinha. Mod-two cohomology of symmetric groups as a Hopf ring. arXiv: 0909.3292.

[Gue17]

Lorenzo Guerra. “Hopf ring structure on the \(\mathrm {mod}\,p\) cohomology of symmetric groups”. In: Algebr. Geom. Topol. 17.2 (2017), pp. 957–982. url: https://doi.org/10.2140/agt.2017.17.957.

[Gue23]

Lorenzo Guerra. “The \(\mathrm {mod}\, 2\) cohomology of the infinite families of Coxeter groups of type \(B\) and \(D\) as almost-Hopf rings”. In: Algebr. Geom. Topol. 23.7 (2023), pp. 3221–3292. arXiv: 1711.04639. url: https://doi.org/10.2140/agt.2023.23.3221.

[Har91]

Shin-ichiro Hara. “The Hopf rings for connective Morava \(K\)-theory and connective complex \(K\)-theory”. In: J. Math. Kyoto Univ. 31.1 (1991), pp. 43–70.

[HH]

Michael A. Hill and Michael J. Hopkins. Real Wilson Spaces I. arXiv: 1806.11033.

[KW07]

Nitu Kitchloo and W. Stephen Wilson. “On the Hopf ring for \(ER(n)\)”. In: Topology Appl. 154.8 (2007), pp. 1608–1640. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.topol.2007.01.001.

[Pet]

Sarah Petersen. The \(H \underline {\mathbb {F}}_2\)-homology of \(C_2\)-equivariant Eilenberg-MacLane spaces. arXiv: 2206.08165.

[RW77]

Douglas C. Ravenel and W. Stephen Wilson. “The Hopf ring for complex cobordism”. In: J. Pure Appl. Algebra 9.3 (1976/77), pp. 241–280.

[RW80]

Douglas C. Ravenel and W. Stephen Wilson. “The Morava \(K\)-theories of Eilenberg-Mac Lane spaces and the Conner-Floyd conjecture”. In: Amer. J. Math. 102.4 (1980), pp. 691–748. url: http://dx.doi.org/10.2307/2374093.

[ST97]

Neil P. Strickland and Paul R. Turner. “Rational Morava \(E\)-theory and \(DS_0\)”. In: Topology 36.1 (1997), pp. 137–151. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(95)00073-9.

[Wil00]

W. Stephen Wilson. “Hopf rings in algebraic topology”. In: Expo. Math. 18.5 (2000), pp. 369–388.

[Wil82]

W. Stephen Wilson. Brown-Peterson homology: an introduction and sampler. Vol. 48. CBMS Regional Conference Series in Mathematics. Washington, D.C.: Conference Board of the Mathematical Sciences, 1982, pp. v+86. isbn: 0-8219-1699-3.