一般コホモロジーでのコホモロジー作用素

コホモロジー作用素は, \(\F _p\)係数の 特異コホモロジーの場合が, 最も良く研究されている。 対称群の (局所係数) コホモロジーの元を用いて, その基本となる作用素が具体的に構成でき, コホモロジー作用素を用いた計算を具体的に行うことができる。 よって, 様々な問題に応用できるのである。

一般コホモロジー論 \(h^*(-)\) においても, コホモロジー作用素を自然変換 \[ \psi : h^k(X) \longrightarrow h^{\ell }(X) \] として定義することはできるが, その性質を調べるのは容易ではない。

例えば, \(\F _p\)係数のコホモロジーの場合, 安定作用素の全体は Hopf algebra の構造を持つが, 一般には, Hopf algebra にならないのである。Ravenel の本 [Rav86] にあるように, homology の cooperation 全体は Hopf algebroid と考えるべきである。Unstable operation の場合は Ravenel と Wilson の Hopf ring を用いる必要がある。 それを用いて unstable operation 全体の構造を記述しようというのが, Boardman と Johnson と Wilson の [BJW95] である。

• stable cohomology operation
• Hopf algebroid
• Hopf ring

Stable operation について, [BJW95] と同じ流れで調べたものとして, Boardman の [Boa95] がある。

Stacy と Whitehouse の [SW08] では, 一般コホモロジーでの stable operation と unstable operation の関係が調べられている。また [SW09] では unstable operation 全体の成す代数的構造が詳しく調べられている。

彼等が指摘している Hopf ring の欠点は, operation の合成に対応する構造を持っていないことである。そこで, Boardman, Johnson, Wilson によるもう一つの記述, つまり monad によるものを拡張することを考えている。 そのために用いているのが, (graded completed) Tall-Wraith monoid という構造である。

• Tall-Wraith monoid [TW70; BW05]

Stacey と Whitehouse は, [SW] で Tall-Wraith monoid の研究を始めた。

他には, unstable operation に対するアプローチとして, Kashiwabara によるもの [Kas94] がある。

具体的なコホモロジー論上の具体的なコホモロジー作用素としては, まず \(K\)-theory 上の Adams作用素を知っておくべきだろう。

• Adams作用素

他にも色々ある。例えば Lubin-Tate cohomology theory \(E_n\) 上の Ando による power operation [And95] など。Rezk [Rez12] によ ると, Ando と Hopkins と Strickland は power operation の成す ring が Koszul ring と呼ばれ るものになるという予想を立てたらしい。Rezk は別の論文でそれを解決したと言っている。

References

[And95]

Matthew Ando. “Isogenies of formal group laws and power operations in the cohomology theories \(E_n\)”. In: Duke Math. J. 79.2 (1995), pp. 423–485. url: http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-95-07911-3.

[BJW95]

J. Michael Boardman, David Copeland Johnson, and W. Stephen Wilson. “Unstable operations in generalized cohomology”. In: Handbook of algebraic topology. Amsterdam: North-Holland, 1995, pp. 687–828. url: http://dx.doi.org/10.1016/B978-044481779-2/50016-X.

[Boa95]

J. Michael Boardman. “Stable operations in generalized cohomology”. In: Handbook of algebraic topology. North-Holland, Amsterdam, 1995, pp. 585–686. url: http://dx.doi.org/10.1016/B978-044481779-2/50015-8.

[BW05]

James Borger and Ben Wieland. “Plethystic algebra”. In: Adv. Math. 194.2 (2005), pp. 246–283. arXiv: math/0407227. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2004.06.006.

[Kas94]

Takuji Kashiwabara. “Hopf rings and unstable operations”. In: J. Pure Appl. Algebra 94.2 (1994), pp. 183–193. url: https://doi.org/10.1016/0022-4049(94)90032-9.

[Rav86]

Douglas C. Ravenel. Complex cobordism and stable homotopy groups of spheres. Vol. 121. Pure and Applied Mathematics. Orlando, FL: Academic Press Inc., 1986, pp. xx+413. isbn: 0-12-583430-6; 0-12-583431-4.

[Rez12]

Charles Rezk. “Modular isogeny complexes”. In: Algebr. Geom. Topol. 12.3 (2012), pp. 1373–1403. arXiv: 1102.5022. url: https://doi.org/10.2140/agt.2012.12.1373.

[SW]

Andrew Stacey and Sarah Whitehouse. Tall-Wraith Monoids. arXiv: 1102.3549.

[SW08]

Andrew Stacey and Sarah Whitehouse. “Stable and unstable operations in mod \(p\) cohomology theories”. In: Algebr. Geom. Topol. 8.2 (2008), pp. 1059–1091. arXiv: math/0605471. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2008.8.1059.

[SW09]

Andrew Stacey and Sarah Whitehouse. “The hunting of the Hopf ring”. In: Homology, Homotopy Appl. 11.2 (2009), pp. 75–132. arXiv: 0711.3722. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1251832594.

[TW70]

D. O. Tall and G. C. Wraith. “Representable functors and operations on rings”. In: Proc. London Math. Soc. (3) 20 (1970), pp. 619–643. url: https://doi.org/10.1112/plms/s3-20.4.619.