無限ループ空間

無限ループ空間とは, 直感的には, 何回でも deloop できる空間のことである。 つまり, 各 \(n\in \N \) に対し

となる基点付き空間 \(Y_n\) が存在するような空間である。 正確には, その delooping (上のホモトピー同値写像) も含めて考えなければならないので, \(\Omega \)- spectrum の最初の空間として定義するとよい。 あるいは, delooping machine を用いて定義するか。

そのホモロジーは, Dyer-Lashof operation の作用を持つ。

• 多重ループ空間の ホモロジー

全ての spectrum は \(\Omega \)-spectrum に取り替ることができるので, 無限ループ空間の理論は, 安定ホモトピー論と密接に関係している。 正確には, 無限ループ空間に対応するのは connective spectrum であるが。

• 安定ホモトピー論

スペクトラムと無限ループ空間の関係については, May の [May69] を見るとよい。

無限ループ空間の例としては, 以下のものが代表的である。

• Eilenberg-Mac Lane space
• generalized Eilenberg-Mac Lane space
• 基点付き空間 \(X\) に対し \(\Omega ^{\infty }\Sigma ^{\infty }X\)
• Bott periodicity に現れる空間
• algebraic \(K\)-theory の定義に現れる空間

Algebraic \(K\)-theory のような代数的構造から得られる infinite loop space は, 古くから考えられていたが, 最近では, 作用素環や 物性物理学の文脈でも infinite loop space が構成されるようになっていて興味深い。 例えば以下のようなものがある。

• Dadarlat と Pennig の [DP16]
• Pennig と Tridimas の [PT]
• Beaudry らの [Bea+24]
• Kubota の [Kub]
• Ji と Yang の [JY]

\(\Omega \)-spectrum ではない spectrum の代表は, Thom spectrum であるが, それに associate した 無限ループ空間は, Kriz [Kří92] による simplicial space としての構成がある。

• \(\Omega \)-spectrum としての Thom spectrum

Thomason は, [Tho95] で全ての無限ループ空間 (connetive spectrum) が symmetric monoidal category から構成できることを示している。 EKMM の spectrum の発見により, spectrum の圏が精密化されたのに対応して, symmetric monoidal category の圏との対応を精密化しようというのが Schmitt の [Sch] である。

このように, ある (離散的?) データから connective spectrum を systematic に構成する方法を delooping machine とか infinite loop machine などと言う。

• delooping machine

一方で, symmetric monoidal category は multicategory (colored operad) とみなすことができるので, 無限ループ空間の構成を multicategory に一般化することも考えられている。Heuts [Heu] や Nikolaus [Nik14] など。 そこで考えられているのは, より一般の \(\infty \)-operad に対する構成であるが。

Rognes の algebraic \(K\)-theory に対する視点に関連して, [Baa+11] にあるように, より 高次のcategory を使う必要も出てきている。 無限ループ空間の理論をそれに対応したものに拡張しようという試みとして Osorno の [Oso12] がある。そこでは, strict な symmetric monoidal bicategory から infinite loop space が構成されている。 Gurski, Johnson, Osorno の [GJO17] では, それが symmetric monoidal bicategory の category と connective spectrum の category の homotopy category の間の同値を誘導することが示されている。

その定義から, 無限ループ空間には対応する \(\Omega \)-spectrum があるが, spectrum に対しては ring spectrum などの構造が考えられる。無限ループ空間に対し, May は対応する概念を考えた。

• \(E_{\infty }\)-ring space [May77; May82]

現代的な解釈などについては, May の [May09b; May09a] を見るとよい。

Spectrum の理論が, “structured spectrum” として再構築されたのに合わせて, 無限ループ空間の理論も再構築しようというのは必然的な流れのように思えるが, あまりそういう研究は行なわれてこなかったように思う。Lind の [Lin13] ぐらいだろうか。

一方, “structured spectrum” の最初のモデルの1つである \(S\)-module を May ら考えたときのアイデアは, equivariant stable homotopy theory を構築しようとしたときのアイデアが元になっている。 当然, infinite loop space の理論を 群の作用を持つ場合に拡張することも, 考えられている。

• equivariant infinite loop space

References

[Baa+11]

Nils A. Baas, Bjørn Ian Dundas, Birgit Richter, and John Rognes. “Stable bundles over rig categories”. In: J. Topol. 4.3 (2011), pp. 623–640. arXiv: 0909.1742. url: http://dx.doi.org/10.1112/jtopol/jtr016.

[Bea+24]

Agnès Beaudry et al. “Homotopical foundations of parametrized quantum spin systems”. In: Rev. Math. Phys. 36.9 (2024), Paper No. 2460003, 87. arXiv: 2303.07431. url: https://doi.org/10.1142/S0129055X24600031.

[DP16]

Marius Dadarlat and Ulrich Pennig. “A Dixmier-Douady theory for strongly self-absorbing \(C^*\)-algebras”. In: J. Reine Angew. Math. 718 (2016), pp. 153–181. arXiv: 1302.4468. url: https://doi.org/10.1515/crelle-2014-0044.

[GJO17]

Nick Gurski, Niles Johnson, and Angélica M. Osorno. “\(K\)-theory for 2-categories”. In: Adv. Math. 322 (2017), pp. 378–472. arXiv: 1503.07824. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2017.10.011.

[Heu]

Gijs Heuts. An infinite loop space machine for infinity-operads. arXiv: 1112.0625.

[JY]

Mattie Ji and Bowen Yang. Quantum Cellular Automata: The Group, the Space, and the Spectrum. arXiv: 2602.16572.

[Kří92]

Igor Kříž. “The infinite loop spaces of Thom spectra”. In: J. Pure Appl. Algebra 81.1 (1992), pp. 49–61. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(92)90134-2.

[Kub]

Yosuke Kubota. Stable homotopy theory of invertible gapped quantum spin systems I: Kitaev’s \(\Omega \)-spectrum. arXiv: 2503.12618.

[Lin13]

John A. Lind. “Diagram spaces, diagram spectra and spectra of units”. In: Algebr. Geom. Topol. 13.4 (2013), pp. 1857–1935. arXiv: 0908.1092. url: https://doi.org/10.2140/agt.2013.13.1857.

[May09a]

J. P. May. “The construction of \(E_{\infty }\) ring spaces from bipermutative categories”. In: New topological contexts for Galois theory and algebraic geometry (BIRS 2008). Vol. 16. Geom. Topol. Monogr. Geom. Topol. Publ., Coventry, 2009, pp. 283–330. arXiv: 0903.2818. url: http://dx.doi.org/10.2140/gtm.2009.16.283.

[May09b]

J. P. May. “What precisely are \(E_{\infty }\) ring spaces and \(E_{\infty }\) ring spectra?” In: New topological contexts for Galois theory and algebraic geometry (BIRS 2008). Vol. 16. Geom. Topol. Monogr. Geom. Topol. Publ., Coventry, 2009, pp. 215–282. arXiv: 0903.2813. url: http://dx.doi.org/10.2140/gtm.2009.16.215.

[May69]

J. Peter May. “Categories of spectra and infinite loop spaces”. In: Category Theory, Homology Theory and their Applications, III (Battelle Institute Conference, Seattle, Wash., 1968, Vol. Three). Berlin: Springer, 1969, pp. 448–479.

[May77]

J. Peter May. \(E_{\infty }\) ring spaces and \(E_{\infty }\) ring spectra. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 577. With contributions by Frank Quinn, Nigel Ray, and Jørgen Tornehave. Berlin: Springer-Verlag, 1977, p. 268.

[May82]

J. P. May. “Multiplicative infinite loop space theory”. In: J. Pure Appl. Algebra 26.1 (1982), pp. 1–69. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(82)90029-9.

[Nik14]

Thomas Nikolaus. “Algebraic K-Theory of \(\infty \)-Operads”. In: J. K-Theory 14.3 (2014), pp. 614–641. arXiv: 1303.2198. url: http://dx.doi.org/10.1017/is014008019jkt277.

[Oso12]

Angélica M. Osorno. “Spectra associated to symmetric monoidal bicategories”. In: Algebr. Geom. Topol. 12.1 (2012), pp. 307–342. arXiv: 1005.2227. url: https://doi.org/10.2140/agt.2012.12.307.

[PT]

Ulrich Pennig and George Tridimas. Infinite Loop Spaces and Group Actions on Strongly Self-Absorbing \(C^*\)-Algebras. arXiv: 2607.20105.

[Sch]

Vincent Schmitt. Tensor product for symmetric monoidal categories. arXiv: 0711.0324.

[Tho95]

R. W. Thomason. “Symmetric monoidal categories model all connective spectra”. In: Theory Appl. Categ. 1 (1995), No. 5, 78–118 (electronic).