多重ループ空間のホモロジー

任意の \(n\) と \(k\) に対し, \(\Omega ^kS^{n+k}\) の mod \(2\) ホモロジーを決定したのは, Kudo と Araki [KA56b; KA56a] であり, 奇素数の場合は Dyer と Lashof [DL62] である。Kudo と Araki および Dyer と Lashof は 多重ループ空間のホモロジーを記述するために, Steenrod operation と類似のホモロジー作用素を導入した。

• ホモロジー作用素

一般の基点付き空間 \(X\) に対し, \(\Omega ^n\Sigma ^n X\) の mod \(p\) ホモロジーは, その configuration space model ( little cube model) を用いて Fred Cohen [CLM76] により決定された。 もちろん, その記述もホモロジー作用素を用いたものである。

Deligne conjecture により, Hochschild homology は \(2\)重ループ空間のホモロジーとよく似た構造を持つことが分っている。 実際に Hochschild homology に Dyer-Lashof operation の類似を定義したのは, Turchin (Tourtchine) [Tou06] である。

Suspension の無い多重ループ空間のホモロジーは, 難しい。\(X\) の homology から \(\Omega ^n X\) の homology に収束する spectral sequence を Smirnov [Smi02] が構成している。例として, stunted projective space の多重ループ空間のホモロジーが計算されている。

• Smirnov spectral sequence

Kuhn は, [Kuh08] で \(\Sigma ^{\infty }\Omega ^nX\) の Goodwillie tower を用いて, 同様の spectral sequence を構成している。更に, [KM13] では spectrum \(X\) に対し \(\Sigma ^{\infty }\Omega ^{\infty }X\) の Goodwillie tower による spectral sequence を用いて \(\Omega ^{\infty }X\) のホモロジーを \(X\) のホモロジーから復元する問題を考えている。

Kaledin [Kal12] は, 無限ループ空間が Segal machine (special \(\Gamma \)-space) からできている場合に, その情報を用いて, その無限ループ空間に対応する connective spectrum のホモロジーの記述を発見した。元々は Pirashvili [Pir00] によるものらしいが。

無限ループ空間とスペクトラムのホモロジーの関係については, より古くは Haynes Miller による spectral sequence の構成 [Mil78] がある。 スペクトラム \(E\) に対し, \(E^2\)-term が associated infinite loop space \(\Omega ^{\infty } E\) のホモロジーと Dyer-Lashof algebra の作用で記述され, \(E\) のホモロジーに収束する spectral sequence が構成されている。

• Miller spectral sequence

その dual のような spectral sequence が Haugseng と Miller [HM16] により構成されている。そこでは \(E_2\)-term が \(E\)のコホモロジーとその上への Steenrod algebra の作用で記述され, \(\Omega ^{\infty } E\) のコホモロジーに収束する spectral sequence が構成されている。

Steenrod algebra 上の module の destabilization functor との関係を, Powell [Pow] が調べている。

\(2\)重ループ空間の場合, Hess と Levi による chain algebra model [HL07] も興味深い。

\(X\) が \(n\)重ループ空間の category での cosimplicial object のとき, \(\mathrm {Tot}(X)\) の ホモロジーに収束する spectral sequence があるが, その上の homology operation については, Turner [Tur98] や Hackney [Hac13a; Hac13b] が調べている。

Knudsen [Knu18] は \(n\)重ループ空間の singular chain complex の持つ \(E_n\)-algebra としての構造を, Lie algebra の “higher universal enveloping algebra” とみなすことを提案している。彼は, \(k\)-linear stable, locally presentable, symmetric monoidal \((\infty ,1)\)-category での Lie algebra object \(L\) に対し \(E_n\)-algebra を対応させる functor \(U_n(L)\) を構成し, その性質を調べている。

多重ループ空間の 一般(コ)ホモロジーは, 一層複雑である。 球面の多重ループ空間の Morava \(K\)-theory について知られていることについては, Brantner, Hahn, Knudsen の [BHK] の Introduction にまとめられている。\(K(1)\) については Langsetmo の [Lan93; Lan96], 一般の \(K(n)\) については, Yamaguchi の [Yam88], 私の [Tam02] がある。Brantner らは, Lubin-Tate theory (Morava \(E\)-theory) について新しい方法を提案している。

References

[BHK]

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