Higher Operads

Operad は, 複数の入力と1つの出力のを持つ代数的構造である。その colored version である multicategory は, morphism が複数の入力を持つ 小圏の一般化とみなしてよい。

高次の圏論が様々な場面で有用 (必要) であることが分かってきて, operad の理論もそれに合せて高次化する必要が出てきた。

Operad の高次化としては, まず Batanin [Bat98; Bat08] の考えているものがある。その motivation の一つは, 高次の圏を定義することである。

• \(n\)-operad

Lurie [Lur] は, quasicategory に基づいた \(\infty \)-operad を考えている。名前は operad であるが, 実態は multicategory の \((\infty ,1)\)-category 版である。

• Lurie の \(\infty \)-operad

もっとも, \((\infty ,1)\)-category の model が quasicategory, simplicial category, complete Segal space, Segal category など色々あるように, \(\infty \)-operad の model にも色々なものがある。例えば, small category と simplicial set の関係の類似が operad (multicategory) と dendroidal set なので, dendroidal set を使うのは自然なアイデアである。

• dendroidal set による \(\infty \)-operad

それらの モデル圏を比較し, Quillen equivalent であることを示したものとして, Cisinski と Moerdijk の [CM13] や Bergner と Hackney の [BH14], そして Heuts, Hinich, Moerdjik の [HHM16] がある。

Barwick [Bar18] は, operator category の概念を導入し, Lurie のものと同値であることを示している。

• Barwick の \(\infty \)-operad

その Barwick の model と dendroidal set の model を比較したものとして, Chu, Haugseng, Heuts の [CHH18] がある。

これらの比較は, 単に \((\infty ,1)\)-category としての比較であるが, Hinich と Moerdijk [HM] は Lurie の model と dendroidal set による model が symmetric monoidal \((\infty ,1)\)-category として同値であることを示している。

他にも, Gepner, Haugseng, Kock [GHK22] による polynomial functor の \(\infty \)-category 版として model や, Haugseng と Kock [HK24] によるものもある。

\(\infty \)-operad 上の algebra やその homotopy theory については, Heuts が [Heua] で調べている。また [Heub] では, infinite loop space に対する delooping machine についても考えている。

Hackeyら [HRY15; HRY17] は, より一般に properad の \(\infty \) 版を考えている。

• \(\infty \)-properad

Hackney ら [HRY19] は, cyclic operad の高次版も考えている。

Devalapurkar [Dev] は \((\infty ,2)\)-category 版を導入している。

References

[Bar18]

Clark Barwick. “From operator categories to higher operads”. In: Geom. Topol. 22.4 (2018), pp. 1893–1959. arXiv: 1302.5756. url: https://doi.org/10.2140/gt.2018.22.1893.

[Bat08]

M. A. Batanin. “The Eckmann-Hilton argument and higher operads”. In: Adv. Math. 217.1 (2008), pp. 334–385. arXiv: math/0207281. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2007.06.014.

[Bat98]

M. A. Batanin. “Monoidal globular categories as a natural environment for the theory of weak \(n\)-categories”. In: Adv. Math. 136.1 (1998), pp. 39–103. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.1998.1724.

[BH14]

Julia E. Bergner and Philip Hackney. “Group actions on Segal operads”. In: Israel J. Math. 202.1 (2014), pp. 423–460. arXiv: 1207.3465. url: https://doi.org/10.1007/s11856-014-1075-2.

[CHH18]

Hongyi Chu, Rune Haugseng, and Gijs Heuts. “Two models for the homotopy theory of \(\infty \)-operads”. In: J. Topol. 11.4 (2018), pp. 857–873. arXiv: 1606.03826. url: https://doi.org/10.1112/topo.12071.

[CM13]

Denis-Charles Cisinski and Ieke Moerdijk. “Dendroidal sets and simplicial operads”. In: J. Topol. 6.3 (2013), pp. 705–756. arXiv: 1109.1004. url: https://doi.org/10.1112/jtopol/jtt006.

[Dev]

Sanath Devalapurkar. 2-fold complete Segal operads. arXiv: 1607.06034.

[GHK22]

David Gepner, Rune Haugseng, and Joachim Kock. “\(\infty \)-operads as analytic monads”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 16 (2022), pp. 12516–12624. arXiv: 1712.06469. url: https://doi.org/10.1093/imrn/rnaa332.

[Heua]

Gijs Heuts. Algebras over infinity-operads. arXiv: 1110.1776.

[Heub]

Gijs Heuts. An infinite loop space machine for infinity-operads. arXiv: 1112.0625.

[HHM16]

Gijs Heuts, Vladimir Hinich, and Ieke Moerdijk. “On the equivalence between Lurie’s model and the dendroidal model for infinity-operads”. In: Adv. Math. 302 (2016), pp. 869–1043. arXiv: 1305.3658. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2016.07.021.

[HK24]

Rune Haugseng and Joachim Kock. “\(\infty \)-operads as symmetric monoidal \(\infty \)-categories”. In: Publ. Mat. 68.1 (2024), pp. 111–137. arXiv: 2106.12975. url: https://doi.org/10.5565/publmat6812406.

[HM]

Vladimir Hinich and Ieke Moerdijk. On the equivalence of the Lurie’s \(\infty \)-operads and dendroidal \(\infty \)-operads. arXiv: 2206.14033.

[HRY15]

Philip Hackney, Marcy Robertson, and Donald Yau. Infinity properads and infinity wheeled properads. Vol. 2147. Lecture Notes in Mathematics. Springer, Cham, 2015, pp. xv+358. isbn: 978-3-319-20546-5; 978-3-319-20547-2. arXiv: 1410.6716. url: https://doi.org/10.1007/978-3-319-20547-2.

[HRY17]

Philip Hackney, Marcy Robertson, and Donald Yau. “A simplicial model for infinity properads”. In: High. Struct. 1.1 (2017), pp. 1–21. arXiv: 1502.06522.

[HRY19]

Philip Hackney, Marcy Robertson, and Donald Yau. “Higher cyclic operads”. In: Algebr. Geom. Topol. 19.2 (2019), pp. 863–940. arXiv: 1611.02591. url: https://doi.org/10.2140/agt.2019.19.863.

[Lur]

Jacob Lurie. Higher Algebra. url: https://www.math.ias.edu/~lurie/papers/HA.pdf.