Dendroidal Objects

Small category の morphism を, 入力も出力も一つづつの blackbox と考えたとき, 入力が複数のものも許したものを multicategory (あるいは colored operad あるいは pseudo-tensor category) という。

Moerdijk と Weiss [MW07] によると, small category の分類空間が simplicial set を用いて構成されるように, multicategory の分類空間を構成するためには, dendroidal set を用いるのが自然なようである。 彼らは, この dendroidal set という概念を導入し, multicategory の nerve を dendroidal set として定義している。その性質は, [MW09] で調べられている。Operad (multicategory) と dendroidal set の解説として は, Weiss の [Wei11] がある。Heuts と Moerdijk の本 [HM22] が出たので, まずはこの本で勉強するのが良いと思う。 モデル圏など, 必要なことも書かれているからである。

• dentroidal set
• multicategory の dendroidal nerve

Nerve を取るという操作が, small category の category を simplicial set の category に埋め込み, その中間に quasicategory という \(\infty \)-category のモデルが取れることは, 最近では有名な事実であるが, Cisinski と Moerdjik [CM11] は, multicategory と dendroidal set で同じことをやろうとしている。つまり simplicial set の圏の Joyal model structure に対応する model structure を dendroidal set の圏に定義し, その fibrant object として \(\infty \)-multicategory あるいは (colored) \(\infty \)-operad を定義している。また, [CT12] では dendroidal set を用いて complete Segal space や Segal category の類似を考えている。

• dendroidal set の圏の Cisinski-Moerdijk model structure
• \(\infty \)-operad

Simplicial set の圏の model structure としては, 通常は Kan complex を fibrant object とする Quillen の model structure の方が有名であるが, Bašić と Nikolaus [BN14] は, それに対応する model structure を dendroidal set の圏に定義し, その fibrant object を fully Kan dendroidal set と定義している。

• dendroidal set の圏の Bašić-Nikolaus model structure
• fully Kan dendroidal set
• dendroidal set の圏の stable model structure

Multicategory は, symmetric monoidal category から作られるものがあるので, quasicategory を category の高次化 (\((\infty ,1)\)化) と考える視点からは, \(\infty \)-operad は symmetric monoidal category の高次化と考えることができる。 ホモトピー論では, Thomason の結果 [Tho95] より, symmetric monoidal category は (connective) spectrum (無限ループ空間) を作る元になるデータとみなすことが多いが, Heuts [Heu] や Nikolaus [Nik14] によると, それは \(\infty \)-operad から connective spectrum の構成へ一般化して考えた方がよさそうである。 また, Bašić と Nikolaus [BN14] は, 上記のものとは別の stable model structure と呼ばれる model structure を定義し, それを用いると connective spectrum の圏のモデルが作れ ることを示している。

Dyckerhoff と Kapranov [DK19] の \(2\)-Segal space との関連が, Walde [Wal] により調べられている。

Simplicial set からは, simplicial Abelian group, そして chain complex が作られるが, Bašić と Nikolaus は [BN17] で, その dendroidal set への拡張を定義している。

• dendroidal set の chain complex

また, 彼等は, [BN14] で導入した dendroidal set から作られる spectrum のホモロジーが, その chain complex のホモロジーと同型であることを示している。

Simplicial set と chain complex と言えば, Dold-Kan correspondence であるが, Gutiérrez と Lukacs と Weiss [GLW] は, Dold-Kan correspondence の dentroidal version を考えている。

\(C^*\)-algebra を用いて, dendroidal set の圏と Quillen 同値な圏を構成することもできるようである。正確に言うと, separable unital \(C^*\)-algebra の圏の上の presheaf の圏が dendroidal set の圏と Quillen 同値になることが, Mahanta の [Mah19] で示されている。Cuntz の noncommutative simplex の構成 [Cun02] がヒントになっているようである。

Operad の properad への一般化に対応するものとして, Hackney らの本 [HRY15] で dendroidal set の一般化が導入された。Properadic graphical set と呼ばれている。

• properadic graphical set

Equivariant 版については, Pereira の [Per] がある。

References

[BN14]

Matija Bašić and Thomas Nikolaus. “Dendroidal sets as models for connective spectra”. In: J. K-Theory 14.3 (2014), pp. 387–421. arXiv: 1203.6891. url: https://doi.org/10.1017/is014005003jkt265.

[BN17]

Matija Bašić and Thomas Nikolaus. “Homology of dendroidal sets”. In: Homology Homotopy Appl. 19.1 (2017), pp. 111–134. arXiv: 1509.00702. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2017.v19.n1.a6.

[CM11]

Denis-Charles Cisinski and Ieke Moerdijk. “Dendroidal sets as models for homotopy operads”. In: J. Topol. 4.2 (2011), pp. 257–299. arXiv: 0902.1954. url: http://dx.doi.org/10.1112/jtopol/jtq039.

[CT12]

Denis-Charles Cisinski and Gonçalo Tabuada. “Symmetric monoidal structure on non-commutative motives”. In: J. K-Theory 9.2 (2012), pp. 201–268. arXiv: 1010 . 4956. url: http://dx.doi.org/10.1017/is011011005jkt169.

[Cun02]

J. Cuntz. “Noncommutative simplicial complexes and the Baum-Connes conjecture”. In: Geom. Funct. Anal. 12.2 (2002), pp. 307–329. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00039-002-8248-6.

[DK19]

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[GLW]

Javier J. Gutiérrez, Andor Lukacs, and Ittay Weiss. Dold-Kan correspondence for dendroidal abelian groups. arXiv: 0909.3995.

[Heu]

Gijs Heuts. An infinite loop space machine for infinity-operads. arXiv: 1112.0625.

[HM22]

Gijs Heuts and Ieke Moerdijk. Simplicial and Dendroidal Homotopy Theory. Vol. 75. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. Springer Cham, 2022, pp. xx+612. isbn: 978-3-031-10446-6. url: https://doi.org/10.1007/978-3-031-10447-3.

[HRY15]

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[Mah19]

Snigdhayan Mahanta. “\(C^*\)-algebraic drawings of dendroidal sets”. In: Algebr. Geom. Topol. 19.3 (2019), pp. 1171–1206. arXiv: 1501. 05799. url: https://doi.org/10.2140/agt.2019.19.1171.

[MW07]

Ieke Moerdijk and Ittay Weiss. “Dendroidal sets”. In: Algebr. Geom. Topol. 7 (2007), pp. 1441–1470. arXiv: math/0701293. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2007.7.1441.

[MW09]

I. Moerdijk and I. Weiss. “On inner Kan complexes in the category of dendroidal sets”. In: Adv. Math. 221.2 (2009), pp. 343–389. arXiv: math/0701295. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2008.12.015.

[Nik14]

Thomas Nikolaus. “Algebraic K-Theory of \(\infty \)-Operads”. In: J. K-Theory 14.3 (2014), pp. 614–641. arXiv: 1303 . 2198. url: http://dx.doi.org/10.1017/is014008019jkt277.

[Per]

Luis Alexandre Pereira. Equivariant dendroidal sets. arXiv: 1702. 08119.

[Tho95]

R. W. Thomason. “Symmetric monoidal categories model all connective spectra”. In: Theory Appl. Categ. 1 (1995), No. 5, 78–118 (electronic).

[Wal]

Tashi Walde. 2-Segal spaces as invertible infinity-operads. arXiv: 1709.09935.

[Wei11]

Ittay Weiss. “From operads to dendroidal sets”. In: Mathematical foundations of quantum field theory and perturbative string theory. Vol. 83. Proc. Sympos. Pure Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2011, pp. 31–70. arXiv: 1012 . 4315. url: https://doi.org/10.1090/pspum/083/2742425.