Dold-Kan Correspondence

Simplicial Abelian group に対し, その normalized chain complex を対応させることにより, simplicial Abelian group の圏と bounded below chain complex の圏は同値になる。より一般に simplicial \(R\)-module の圏と \(R\) 上の bounded below chain complex の圏も同値になる。 この対応は Dold-Kan correspondence と呼ばれる。

元の文献は, Dold の [Dol58], Dold と Puppe の [DP61], そして Kan の [Kan58] であるが, Goerss と Jardine の本 [GJ09] や Weibel の本 [Wei94] で解説されているので, まずはこれらの本を読むのが良いだろう。Normalized chain complex を対応させることの逆, つまり bounded below chain complex から simplicial Abelian group を作ることについては, これらの本にも記述があるが, Castiglioni と Ladra の [CL08] にも具体的な記述がある。

一般化や類似の対応も色々知られている。

まず, cosimplicial 版がある。例えば, Weibel の本 [Wei94] に Corollary/Definition 8.4.3 として述べられている。

• Cosimplicial Abelian group に対しその normalized cochain complex を取るという対応で, cosimplicial Abelian group の圏と bounded below cochain complex の圏は同値になる。

Cochain complex の場合は積を持つことが多いことから, このdual Dold-Kan correspondence から simplicial ring と differential graded ring の間の対応を作ろうというのは自然なアイデアである。実際 Castiglioni と Cortinas [CC04] は次を証明している。

• Dual Dold-Kan correspondence の拡張により cosimplicial ring の圏のホモトピー圏と differential graded ring の圏のホモトピー圏の同値を与える

残念ながら, 圏の同値ではなくホモトピー圏の同値であるが。 よって model category を用いる必要がある。

Simplicial ring と differential graded ring の対応への一般化, そしてそれの更なる一般化は, Schwede と Shipley が [SS03] で行なっている。

Schwede と Shipley の結果は, より一般の monoidal model category に関するものであるが, Shoikhet [Sho] が言っているように, Dold-Kan correspondence の双方の functor は strict monoidal ではない。Shoikhet は, Dold-Kan correspondence の場合を含めるように条件を弱めることを考えている。 ただ, その version 2 の arXiv での comment によると, それは既に Aguiar と Mahajan の本 [AM10] の §5.4 で考えられていたことのようである。

Simplicial coalgebra と dg coalgebra の間の Dold-Kan correspondence の類似については, Soré [Sor16] が調べている。

Crossed simplicial group の場合は, Can Kaya と Kaygun の [KK] で考えられている。

Gutiérrez と Lukacs と Weiss [GLW11] は dendroidal Abelian group への一般化を考えている。

Strict \(\omega \)-category での Abelian group object への拡張を考えている人 [Mil] もいる。

Dyckerhoff [Dyc21] は, “categorification” の存在を証明している。Waldhausen \(S\)-construction の一般化になっているようである。

• categorified Dold-Kan correspondence

応用としては, Kauffman [Kau18] が link homology の研究に使うことを提案している。 鎖複体を simplicial object に変換するのでホモトピー論的に扱えるから, というのが提案の動機らしい。 Khovanov homotopy type との関連はどうなっているのだろう?

References

[AM10]

Marcelo Aguiar and Swapneel Mahajan. Monoidal functors, species and Hopf algebras. Vol. 29. CRM Monograph Series. With forewords by Kenneth Brown and Stephen Chase and André Joyal. Providence, RI: American Mathematical Society, 2010, pp. lii+784. isbn: 978-0-8218-4776-3.

[CC04]

José Luis Castiglioni and Guillermo Cortiñas. “Cosimplicial versus DG-rings: a version of the Dold-Kan correspondence”. In: J. Pure Appl. Algebra 191.1-2 (2004), pp. 119–142. arXiv: math/0306289. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2003.11.009.

[CL08]

J. L. Castiglioni and M. Ladra. “Peiffer elements in simplicial groups and algebras”. In: J. Pure Appl. Algebra 212.9 (2008), pp. 2115–2128. arXiv: math/0501260. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2007.11.016.

[Dol58]

Albrecht Dold. “Homology of symmetric products and other functors of complexes”. In: Ann. of Math. (2) 68 (1958), pp. 54–80. url: https://doi.org/10.2307/1970043.

[DP61]

Albrecht Dold and Dieter Puppe. “Homologie nicht-additiver Funktoren. Anwendungen”. In: Ann. Inst. Fourier Grenoble 11 (1961), pp. 201–312.

[Dyc21]

Tobias Dyckerhoff. “A categorified Dold-Kan correspondence”. In: Selecta Math. (N.S.) 27.2 (2021), Paper No. 14, 35. arXiv: 1710. 08356. url: https://doi.org/10.1007/s00029-021-00618-5.

[GJ09]

Paul G. Goerss and John F. Jardine. Simplicial homotopy theory. Modern Birkhäuser Classics. Reprint of the 1999 edition [MR1711612]. Birkhäuser Verlag, Basel, 2009, pp. xvi+510. isbn: 978-3-0346-0188-7. url: https://doi.org/10.1007/978-3-0346-0189-4.

[GLW11]

Javier J. Gutiérrez, Andor Lukacs, and Ittay Weiss. “Dold-Kan correspondence for dendroidal abelian groups”. In: J. Pure Appl. Algebra 215.7 (2011), pp. 1669–1687. arXiv: 0909 . 3995. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2010.10.003.

[Kan58]

Daniel M. Kan. “Functors involving c.s.s. complexes”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 87 (1958), pp. 330–346. url: https://doi.org/10.2307/1993103.

[Kau18]

Louis H. Kauffman. “Simplicial homotopy theory, link homology and Khovanov homology”. In: J. Knot Theory Ramifications 27.7 (2018), pp. 1841002, 33. arXiv: 1701 . 04886. url: https://doi.org/10.1142/S021821651841002X.

[KK]

Atabey Kaygun and Haydar Can Kaya. A Dold-Kan Equivalence for Crossed Simplicial Groups. arXiv: 2402.19291.

[Mil]

Brett Milburn. Abelian Groups in omega-categories. arXiv: 1106. 5434.

[Sho]

Boris Shoikhet. A bialgebra axiom and the Dold-Kan correspondence. arXiv: 1109.5441.

[Sor16]

W. Hermann B. Sore. “The Dold-Kan correspondence and coalgebra structures”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 11.1 (2016), pp. 67–96. arXiv: 1110.5193. url: https://doi.org/10.1007/s40062-014-0096-1.

[SS03]

Stefan Schwede and Brooke Shipley. “Equivalences of monoidal model categories”. In: Algebr. Geom. Topol. 3 (2003), 287–334 (electronic). arXiv: math/0209342. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2003.3.287.

[Wei94]

Charles A. Weibel. An introduction to homological algebra. Vol. 38. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, 1994, pp. xiv+450. isbn: 0-521-43500-5; 0-521-55987-1. url: https://doi.org/10.1017/CBO9781139644136.