Groupoid に関連した概念

Groupoid の一般化として, pregroupoid という概念もある [Koc] らしい。braided groupoid というの [MM] もある。

• pregroupoid
• braided groupoid

Groupoid に近い概念として crossed module というものもある。これは高次の groupoid と関係が深い。

• crossed module
• 高次の groupoid

高次化に関連したこととしては, Baez ら [BHW; BHW10] の groupoidification というものもある。

• groupoidification

Groupoid の noncommutative version とも言うべき, quantum groupoid という概念もある。Böhm と Szlachonyi ら [BS96; BNS99] により導入された。

• quantum groupoid

Quantum groupoid に対しては, その表現として tensor category が作られる。 Andruskiewitsch と Natale は [AN05; AN06] で double groupoid から quantum groupoid を作り, それからできる tensor category を考えている。また [AN09] では discrete double groupoid の構造を決定している。 Double groupoid とは groupoid の圏の groupoid object である。Ehresmann により [Ehr63] で導入された。

• double groupoid

Groupoidは圏なので, その上の圏論的構造を考えることができる。例えば, groupoid上のmonoidal structureについては, CalvoとCegarraとHerediaの[CCH]で考えられている。

• monoidal groupoid

Groupoid から作られるものとしては, その分類空間と groupoid algebra が代表的なものではないだろうか。Groupoid algebra は, 位相を持つ場合は, \(C^*\)-algebra として定義されるのが一般的である。

• groupoid \(C^*\)-algebra

もちろん, \(C^*\)-algebra として考えるためには係数は \(\bbC \) でなければならないが, 最近, より一般の係数も含めて, Steinberg [Ste10] が groupoid \(C^*\)-algebra の拡張になる構成を発見している。

Resende は quantale (quantum locale) という概念と groupoid との関係を [Res07] で調べている。Resende は quantale の Gel’fand-Naimark duality を目指しているようである。

• quantale

Quantale に関係したものとして, morphism の合成が, morphism の集合の部分集合に値を持つことも許した一般化として, hypergroupoid というものもある。

• hypergroupoid

Hypergroup の many-objectification である。Henry の [Hen] などで現れる。

Semigroupoid という概念もある。どうやら partial monoid のように部分的に積が定義されているものらしい。Partial groupoid と呼んだ方が良いかもしれない。Exel の [Exe11] など。 それによると topological semigroupoid は, まだ誰も調べていないらしい。

Groupoid の family を考えている人もいる。Paterson の [Pat00] など。

Almost-groupoid という一般化は, 固体物理での結晶構造など, tiling を扱うために考えられたもののようである。例えば, Kellendonk の [Kel] など。

References

[AN05]

Nicolás Andruskiewitsch and Sonia Natale. “Double categories and quantum groupoids”. In: Publ. Mat. Urug. 10 (2005), pp. 11–51. arXiv: math/0308228.

[AN06]

Nicolás Andruskiewitsch and Sonia Natale. “Tensor categories attached to double groupoids”. In: Adv. Math. 200.2 (2006), pp. 539–583. arXiv: math.QA/0408045. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2005.02.008.

[AN09]

Nicolás Andruskiewitsch and Sonia Natale. “The structure of double groupoids”. In: J. Pure Appl. Algebra 213.6 (2009), pp. 1031–1045. arXiv: math/0602497. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2008.11.003.

[BHW]

John C. Baez, Alexander E. Hoffnung, and Christopher D. Walker. Groupoidification Made Easy. arXiv: 0812.4864.

[BHW10]

John C. Baez, Alexander E. Hoffnung, and Christopher D. Walker. “Higher dimensional algebra VII: groupoidification”. In: Theory Appl. Categ. 24 (2010), No. 18, 489–553. arXiv: 0908.4305.

[BNS99]

Gabriella Böhm, Florian Nill, and Kornél Szlachányi. “Weak Hopf algebras. I. Integral theory and \(C^{*}\)-structure”. In: J. Algebra 221.2 (1999), pp. 385–438. arXiv: math/9805116. url: http://dx.doi.org/10.1006/jabr.1999.7984.

[BS96]

Gabriella Böhm and Kornı́l Szlachónyi. “A coassociative \(C^{*}\)-quantum group with nonintegral dimensions”. In: Lett. Math. Phys. 38.4 (1996), pp. 437–456. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01815526.

[CCH]

María Calvo, Antonio M. Cegarra, and Benjamín A. Heredia. Structure and classification of monoidal groupoids. arXiv: 1209. 2847.

[Ehr63]

Charles Ehresmann. “Catégories doubles et catégories structurées”. In: C. R. Acad. Sci. Paris 256 (1963), pp. 1198–1201.

[Exe11]

R. Exel. “Semigroupoid \(C^\ast \)-algebras”. In: J. Math. Anal. Appl. 377.1 (2011), pp. 303–318. arXiv: math/0611929. url: https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2010.10.061.

[Hen]

Simon Henry. Toposes, quantales and \(C^*\) algebras in the atomic case. arXiv: 1311.3451.

[Kel]

Johannes Kellendonk. The Local Structure of Tilings and their Integer Group of Coinvariants. arXiv: cond-mat/9508010.

[Koc]

Anders Kock. Pregroupoids and their enveloping groupoids. arXiv: math/0502075.

[MM]

C. Maldonado and J. M. Mombelli. On Braided Groupoids. arXiv: math/0504108.

[Pat00]

Alan L. T. Paterson. “Continuous family groupoids”. In: Homology Homotopy Appl. 2 (2000), pp. 89–104. arXiv: 0704.2801.

[Res07]

Pedro Resende. “Étale groupoids and their quantales”. In: Adv. Math. 208.1 (2007), pp. 147–209. arXiv: math / 0412478. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2006.02.004.

[Ste10]

Benjamin Steinberg. “A groupoid approach to discrete inverse semigroup algebras”. In: Adv. Math. 223.2 (2010), pp. 689–727. arXiv: 0903.3456. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2009.09.001.