Quantale

Quantale とは, quantum locale という意味らしい。Locale を位相空間の一般化とみなすことができることから, 非可換な空間のモデルの一つと考えることもできるようである。 Rosenthal による本 [Ros90] がある。

• quantale とは sup-lattice の圏の monoid object である。

Resende が色々調べていて, Gel’fand-Naimark duality の非可換版も考えられている。Kruml と Resende らの [Kru+03; KR04] である。そこでは, Mulvey により定義されたという unital \(C^*\)-algebra \(A\) に対して定義される quantale \(\mathrm {Max}(A)\) の性質が調べられている。Mulvey の論文は ホームページ から download できるものもある。

• unital \(C^*\)-algebra の圏から unital involutive quantale の圏への functor Max

Max は, もちろん可換な \(C^*\)-algebra の極大イデアルの空間の類似であるが, 圏の同値にはなっていないようである。

また Resende は quantale と étale topological groupoid と inverse semigroup と pseudogroup の関係について [Res07; Res05] に書いている。

Quantale 上の層については, 様々なアプローチがあるようで, Resende とRodrigues [RR10] にまとめられている。 最近では, Luiza Tenório ら [TAM] によるアプローチもある。

Quantale の many-objectification (horizontal categorification) は, quantaloid と呼ばれる。

• quantaloid

Shen と Tholen の [ST15] によると, 最初に調べたのは, Walters [Wal81] のようであるが, quantaloid という名前は, Rosenthal の本 [Ros96] で登場したらしい。

Shen と Tholen は quantaloid で enrich された category での limit や colimit について調べているが, 最近 quantaloid-enriched category については, 色々調べられている。例えば, [HS11; SZ13; She; HS18; SY] など。

References

[HS11]

Hans Heymans and Isar Stubbe. “Symmetry and Cauchy completion of quantaloid-enriched categories”. In: Theory Appl. Categ. 25 (2011), No. 11, 276–294. arXiv: 1005.1018.

[HS18]

Dirk Hofmann and Isar Stubbe. “Topology from enrichment: the curious case of partial metrics”. In: Cah. Topol. Géom. Différ. Catég. 59.4 (2018), pp. 307–353. arXiv: 1607.02269.

[KR04]

David Kruml and Pedro Resende. “On quantales that classify \(C^{*}\)-algebras”. In: Cah. Topol. Géom. Différ. Catég. 45.4 (2004), pp. 287–296. arXiv: math/0404001.

[Kru+03]

David Kruml, Joan Wick Pelletier, Pedro Resende, and Jiří Rosický. “On quantales and spectra of \(C^{*}\)-algebras”. In: Appl. Categ. Structures 11.6 (2003), pp. 543–560. arXiv: math/0211345. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1026106305210.

[Res05]

Pedro Resende. Quantales as geometric objects: symmetry beyond groupoids? 2005. arXiv: math/0506451.

[Res07]

Pedro Resende. “Étale groupoids and their quantales”. In: Adv. Math. 208.1 (2007), pp. 147–209. arXiv: math / 0412478. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2006.02.004.

[Ros90]

Kimmo I. Rosenthal. Quantales and their applications. Vol. 234. Pitman Research Notes in Mathematics Series. Longman Scientific & Technical, Harlow; copublished in the United States with John Wiley & Sons, Inc., New York, 1990, pp. x+165. isbn: 0-582-06423-6.

[Ros96]

Kimmo I. Rosenthal. The theory of quantaloids. Vol. 348. Pitman Research Notes in Mathematics Series. Longman, Harlow, 1996, pp. vi+147. isbn: 0-582-29440-1.

[RR10]

Pedro Resende and Elias Rodrigues. “Sheaves as modules”. In: Appl. Categ. Structures 18.2 (2010), pp. 199–217. arXiv: 0711.4401. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10485-008-9131-x.

[She]

Lili Shen. Adjunctions in Quantaloid-enriched Categories. arXiv: 1408.0321.

[ST15]

Lili Shen and Walter Tholen. “Limits and colimits of quantaloid-enriched categories and their distributors”. In: Cah. Topol. Géom. Différ. Catég. 56.3 (2015), pp. 209–231. arXiv: 1504.03348.

[SY]

Lili Shen and Hang Yang. Injective symmetric quantaloid-enriched categories. arXiv: 2201.10754.

[SZ13]

Lili Shen and Dexue Zhang. “Categories enriched over a quantaloid: Isbell adjunctions and Kan adjunctions”. In: Theory Appl. Categ. 28 (2013), pp. 577–615. arXiv: 1307 . 5625. url: https://doi.org/10.1002/int.21602.

[TAM]

Ana Luiza Tenório, Caio de Andrade Mendes, and Hugo Luiz Mariano. On sheaves on semicartesian quantales and their truth values. arXiv: 2204.08351.

[Wal81]

R. F. C. Walters. “Sheaves and Cauchy-complete categories”. In: Cahiers Topologie Géom. Différentielle 22.3 (1981). Third Colloquium on Categories, Part IV (Amiens, 1980), pp. 283–286.