群の概念の一般化

群は様々な見方ができて面白い:

1. 群は, object が一つで morphism が全て逆を持つ small category である。
2. 群は, 自分自身に conjugation で作用する。
3. 群からは, group ring という Hopf algebra が作られる。
4. Lie 群からは, その Lie algebra の universal enveloping algebra として Hopf algebra が作られる。
5. 群の表現の圏は, tensor category になる。
6. 有限群 \(G\) に対し\(G\)-graded vector space の圏は, \(G\) の \(3\)-cocycle (\(H^3(G;\bbC ^{\times })\)の元) で twist することにより, tensor category になる。
7. ホモトピー同値 \(\Omega BG \simeq G\) がある。

最初の見方から群を一般化したのが, groupoid であり small category である。 また, 単位元の存在と積が結合的であることを取り出すと monoid になり, 逆元を持つということだけに着目すると algebraic loop という構造が得られる。

• groupoid
• small category
• monoid
• algebraic loop

Monoid では, 演算が部分的にしか定義されていないものを partial monoid として考えることがあるが, 群の場合でも, 演算が部分的にしか定義されていないものを考えることがある。

• partial monoid や partial group

他にも, 位相空間で, ある条件をみたす open dense subset 上で積と逆元をとる操作が定義されているものがある。group chunk と呼ぶようである。 この Tao の blog の記事 では local group と呼ばれているものも, 同じような概念であるが, 定義域が dense であるということは仮定されていない。

• group chunk
• local group

van den Dries の [Dri90] によると, complex algebraic variety の場合, group chunk が代数群に拡張できるという事実は, Weil の group chunk theorem というらしい。van den Dries は, その topological version を考えている。

Tao らは, [BGT12] で approximate group という概念を考えている。

• approximate group

これは, 群というより部分群 (部分monoid) の概念の拡張のようである。つまり, ある群 (やlocal group) の部分集合が “だいたい積で閉じている” ということを表した概念である。Green による Notices of AMS の “WHAT IS \(\ldots \)?” の解説 [Gre12] もある。

3番目と4番目の視点からは量子群の概念が得られる。

• 量子群

また, 演算自体を multivalued に一般化したものとしては, hypergroup というものがある。

• hypergroup や hyperring などの hyperalgebraic structure

Connes と Consani の [CC11; CC10] では, 可換な hypergroup に積を入れた hyperring という構造が用いられているが, 彼等の仕事と関連したものとして, Lorscheid と Thas の [LT23] がある。\(\F _{1}\) 上の代数群を定義するために, crowd の概念を導入している。

• crowd

Hypergroup とは別の方法で部分集合族を用いて定義される群の一般化としては, association scheme というものもある。 Association scheme からは hypergroup を作ることもできる。 Jun の [Jun18] によると, assciation scheme と hypergroup の関係を最初に確立したのは, Zieschang [Zie10] らしい。

• association scheme

群の表現とは, group ring の表現だから, 5番目の視点は3番目の視点の一般化である。 また6番目も合わせて fusion category を有限群の一般化と見なす人もいる。似たような概念で group category というものもある。

• fusion category や group category

7番目の事実から, ホモトピー論的には分類空間を調べればよいことが分かる。 その方向からの一般化もいくつか考えられている。例えば, 有限群の場合は \(p\)-local finite group, Lie 群の場合は finite loop space (\(p\)-compact group) や \(p\)-local compact group など。

• finite loop space
• \(p\)-local finite group や \(p\)-local compact group

高次の圏を用いた群の概念の一般化もある。 まずは, \(2\)-category を用いたもの。

• \(2\)-group
• \(2\)-Lie group

Fiorenza と Schreiber と Stasheff [FSS12] は, quasicategory を用いた Lie群の一般化を考えている。

このような圏論的な一般化以外にも, 「演算を持った集合」の素朴な一般化も色々ある。 例えば2番目の性質を一般化したのが quandle や rack と呼ばれるものである。

• quandle とその変種
• あまり一般的でない代数的対象

References

[BGT12]

Emmanuel Breuillard, Ben Green, and Terence Tao. “The structure of approximate groups”. In: Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 116 (2012), pp. 115–221. arXiv: 1110 . 5008. url: https://doi.org/10.1007/s10240-012-0043-9.

[CC10]

Alain Connes and Caterina Consani. “From monoids to hyperstructures: in search of an absolute arithmetic”. In: Casimir force, Casimir operators and the Riemann hypothesis. Walter de Gruyter, Berlin, 2010, pp. 147–198. arXiv: 1006.4810.

[CC11]

Alain Connes and Caterina Consani. “The hyperring of adèle classes”. In: J. Number Theory 131.2 (2011), pp. 159–194. arXiv: 1001.4260. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jnt.2010.09.001.

[Dri90]

L. P. D. van den Dries. “Weil’s group chunk theorem: a topological setting”. In: Illinois J. Math. 34.1 (1990), pp. 127–139. url: http://projecteuclid.org/euclid.ijm/1255988498.

[FSS12]

Domenico Fiorenza, Urs Schreiber, and Jim Stasheff. “Čech cocycles for differential characteristic classes: an \(\infty \)-Lie theoretic construction”. In: Adv. Theor. Math. Phys. 16.1 (2012), pp. 149–250. arXiv: 1011.4735. url: http://projecteuclid.org/euclid.atmp/1358950853.

[Gre12]

Ben Green. “What is\(\ldots \) an approximate group?” In: Notices Amer. Math. Soc. 59.5 (2012), pp. 655–656. url: https://doi.org/10.1090/noti829.

[Jun18]

Jaiung Jun. “Association schemes and hypergroups”. In: Comm. Algebra 46.3 (2018), pp. 942–960. arXiv: 1607 . 05086. url: https://doi.org/10.1080/00927872.2017.1332200.

[LT23]

Oliver Lorscheid and Koen Thas. “Towards the horizons of Tits’s vision : on band schemes, crowds and \(\F _1\)-structures”. In: Innov. Incidence Geom. 20.2-3 (2023), pp. 353–394. arXiv: 2305.13809. url: https://doi.org/10.2140/iig.2023.20.353.

[Zie10]

Paul-Hermann Zieschang. Hypergroups. MPIM Preprint Series 2010 (97). 2010. url: https://archive.mpim-bonn.mpg.de/id/eprint/1487/.