Partially Defined Algebraic Structures

演算が部分的にしか定義されていない 代数的構造の内, 最も基本的なのは, partial monoid (partial semigroup) だろう。 Partial semigroup は, [DE18] や [Gho23] などで登場する。

• partial monoid
• partial semigroup

Partial monoid は, \(C^*\)-algebra に関連して, Burgstaller [Bur14] などによっても調べられている。そこでは, semimultiplicative set と呼ばれているが。[Bur09] では, partial monoid の \(C^*\)-algebra や equivariant \(KK\)-theory が考えられている。

ホモトピー論では, [Shi01; Tam13] など。 位相を持ったものであるが。

他にも, 様々な場面で異なる名前で登場する。例えば, Bessis の [Bes03] では pre-monoid という名前で呼ばれている。

更に弱めて, 積が部分的にしか定義されていない magma を, Jonsson [Jon] は partial magma と呼んでいる。関連して semigroupoid や poloid といった構造も調べている。

• partial magma
• semigroupoid
• poloid

他の partial monoid の一般化としては, Bianchi [Bia] が Hurwitz space の一般化のために導入した parially multiplicative quandle がある。名前の通り, quandle の一般化にもなっている。

• partially multiplicative quandle

Partial monoid で逆元を持つものは, partial group と呼ばれる。 Chermak [Che22] で定義されたのが最初なのだろうか。 最近, 色々な人が調べ出したようである。

• partial group や partial groupoid

更に和を持つものを partial ring という。van den Berg と Heunen の [BH12; BH13] などで登場する。 Gillibert の [Gil14] では, partial algebra の圏について, 考えられている。

• partial ring and partial algebra

部分的に定義された作用も考えられている。 Exel [Exe94] は, \(C^*\)-algebra の文脈で, 群の partial action を考えている。 Hopf algebra の partial action は, Caenepeel と Jansen [CJ08] により定義された。 これらについては, Batista の survey [Bat17] がある。Dokuchaev の survey [Dok11; Dok19] もある。

• partial action or partial module or partial representation

当然, その双対である partial coaction や partial comodule も考えられている。

• partial coaction or partial comodule

Batista と Vercruysse [BV16] は, partial action と partial coaction の間の双対性を考えている。

彼等は, Hautekiet と共に [BHV] で体 \(k\) 上の Hopf algebra 上 の partial comodule の category が \(\lMod {k}\) 上 comonadic であることを示している。

Partial monoid の many-objectification として partial category, つまり morphism の合成が部分的にしか定義されていないものも, 色々考えられている。

• partial category

References

[Bat17]

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[Bes03]

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[BH12]

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[BH13]

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[BHV]

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[Bia]

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[Bur09]

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[Bur14]

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[BV16]

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[CJ08]

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[Dok11]

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[Dok19]

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[Exe94]

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[Gho23]

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[Gil14]

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[Jon]

Dan Jonsson. Poloids from the Points of View of Partial Transformations and Category Theory. arXiv: 1710.04634.

[Shi01]

Kazuhisa Shimakawa. “Configuration spaces with partially summable labels and homology theories”. In: Math. J. Okayama Univ. 43 (2001), pp. 43–72.

[Tam13]

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