Fusion system と関連した概念

Fusion という言葉は様々なところで使われるが, ここでは, 有限群の部分群の成す category という意味で fusion system という言葉を使う。 正確には, \(p\)群の部分群の成す category であるが。

典型的な例は, 有限群 \(G\) の \(p\)-Sylow subgroup \(S\) の部分群達をobjectとし, \(G\) の元による conjugation で定義される準同型を moprhism とする category である。

• 有限群 \(G\) とその \(p\)-Sylow subgroup の部分群からできる fusion system \(\mathcal {F}_{S}(G)\)

\(p\) 群達を \(G\) の元による conjugation で “fusion” することにより \(G\) 全体ができているというイメージなのだろうか。

ホモトピー論的には, \(G\) の分類空間 \(BG\) を素数 \(p\) で complete したものを調べるときに有効であることが, Broto と Levi と Oliver の [BLO03] により発見された。そこで用いられている saturated fusion system は, Puig が未出版の note で導入したものらしい。 Gelvin の [Gel] によると, 最近では Linckelmann の [Lin07] で解説されている定式化を使うのが普通のようである。 この Linckelmann の survey は Benson のpreprint archive から, 新しいものが download できる。

• saturated fusion system
• \(p\)-local finite group
• \(p\)-local compact group

Broto と Levi と Oliver は saturated fusion system を用いて, \(p\)-local finite group という概念を定義している。更に, [BLO07] では, \(p\)-local compact group という概念が導入されている。

Saturated fusion system には classifying spectrum という spectrum が定義される。詳しくは, Broto と Levi と Oliver の論文や Ragnarsson の [Rag06] などを参照のこと。

逆に, ホモトピー論の道具は fusion system の分類に有効であるようである。 Broto と Møller と Oliver [BMO12] は, 二つのLie型の有限群の fusion system が同値かどうかという問題を考えている。

Fusion system を \(\mathcal {F}_{S}(G)\) という形に実現する \(G\) を見付ける問題については, 例えば, Leary と Stancu の [LS] がある。

Ragnarsson と Stancu の [RS] によると, Aschbacher [Asc08] は, 有限群の分類に使おうとしているようである。

群に対する概念や構成の saturated fusion system に対する類似を考えるのも, 自然な問題である。 Cantarero と Scherer と Viruel [CSV14] によると, Kessar と Linckelmann [KL08] は, nilpotency の拡張を考えている。Cantarero ら達は, \(p\)-nilpotency の拡張を考えている。 Park と Ragnarsson と Stancu [PRS] は, 群の部分群の積への分解の類似を考えている。 Lyndon-Hochschild-Serre spectral sequence の類似は Ramos [Dı́a14] が考えている。

群拡大の類似については, Alex González [Gon] が考えている。 そこで用いられているのは, Chermak [Che13] が導入した partial group という概念である。これは \(p\)-local finite group などを含むもののようである。 Chermak は, partial group を用いて locality の概念を導入し, 一連の論文 [Che22; Chea; Cheb] の中で調べている。 Fusion system との関係は [CH] で解説されている。

• partial group
• finite locality

Fusion system は finite category なので Leinster の意味の Euler 標数を考えることもできる。実際, Jakobsen と Møller [JM12] により計算されている。

Gelvin は, [Gel] で fusion system の finite set への作用を考えている。

References

[Asc08]

Michael Aschbacher. “Normal subsystems of fusion systems”. In: Proc. Lond. Math. Soc. (3) 97.1 (2008), pp. 239–271. url: http://dx.doi.org/10.1112/plms/pdm057.

[BLO03]

Carles Broto, Ran Levi, and Bob Oliver. “The homotopy theory of fusion systems”. In: J. Amer. Math. Soc. 16.4 (2003), pp. 779–856. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-03-00434-X.

[BLO07]

Carles Broto, Ran Levi, and Bob Oliver. “Discrete models for the \(p\)-local homotopy theory of compact Lie groups and \(p\)-compact groups”. In: Geom. Topol. 11 (2007), pp. 315–427. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2007.11.315.

[BMO12]

Carles Broto, Jesper M. Møller, and Bob Oliver. “Equivalences between fusion systems of finite groups of Lie type”. In: J. Amer. Math. Soc. 25.1 (2012), pp. 1–20. arXiv: 0803.1746. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-2011-00713-3.

[CH]

Andrew Chermak and Ellen Henke. Fusion systems and localities – a dictionary. arXiv: 1706.05343.

[Chea]

Andrew Chermak. Finite Localities II. arXiv: 1505.08110.

[Cheb]

Andrew Chermak. Finite Localities III. arXiv: 1610.06161.

[Che13]

Andrew Chermak. “Fusion systems and localities”. In: Acta Math. 211.1 (2013), pp. 47–139. url: https://doi.org/10.1007/s11511-013-0099-5.

[Che22]

Andrew Chermak. “Finite localities I”. In: Forum Math. Sigma 10 (2022), Paper No. e43. arXiv: 1505.07786. url: https://doi.org/10.1017/fms.2022.31.

[CSV14]

José Cantarero, Jérôme Scherer, and Antonio Viruel. “Nilpotent \(p\)-local finite groups”. In: Ark. Mat. 52.2 (2014), pp. 203–225. arXiv: 1107.5158. url: https://doi.org/10.1007/s11512-013-0181-4.

[Dı́a14]

Antonio Dı́az Ramos. “A spectral sequence for fusion systems”. In: Algebr. Geom. Topol. 14.1 (2014), pp. 349–378. arXiv: 1109.1952. url: https://doi.org/10.2140/agt.2014.14.349.

[Gel]

Matthew Gelvin. Fusion Action Systems. arXiv: 1008.1454.

[Gon]

Alex Gonzalez. An extension theory for partial groups and localities. arXiv: 1507.04392.

[JM12]

Martin Wedel Jacobsen and Jesper M. Møller. “Euler characteristics and Möbius algebras of \(p\)-subgroup categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 216.12 (2012), pp. 2665–2696. arXiv: 1007.1890. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2012.03.032.

[KL08]

Radha Kessar and Markus Linckelmann. “\(ZJ\)-theorems for fusion systems”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 360.6 (2008), pp. 3093–3106. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-08-04275-X.

[Lin07]

Markus Linckelmann. “Introduction to fusion systems”. In: Group representation theory. EPFL Press, Lausanne, 2007, pp. 79–113.

[LS]

Ian J Leary and Radu Stancu. Realising fusion systems. arXiv: math/ 0701892.

[PRS]

Sejong Park, Kári Ragnarsson, and Radu Stancu. On the composition product of saturated fusion systems. arXiv: 1102.5280.

[Rag06]

Kári Ragnarsson. “Classifying spectra of saturated fusion systems”. In: Algebr. Geom. Topol. 6 (2006), pp. 195–252. arXiv: math / 0502092. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2006.6.195.

[RS]

Kari Ragnarsson and Radu Stancu. Saturated fusion systems as idempotents in the double Burnside ring. arXiv: 0911.0085.