Finite loop space やそれに関連したことがら

コンパクト Lie群は, 有限CW複体の構造を持つと同時に, ループ空間でもある (正確にはループ空間とホモトピー同値) という性質を持つ。 その分類空間を用いて \[ G \simeq \Omega BG \] と表せるからである。この条件を一般化したのが finite loop space という概念である。

• finite loop space の定義

通常, ループ空間のような写像空間は無限次元の空間であるから, それが有限次元の空間とホモトピー同値であるということは, かなり厳しい条件である。 コンパクト Lie群以外にはあまり存在しないのではないか, ということが想像できる。しかしながら, コンパクト Lie群とホモトピー同値にならない finite loop space の例は, Hilton と Roitberg により [HR69] で発見されている。

• コンパクトLie群とホモトピー同値にならない finite loop space の例 [HR69]
• \(p\)-compact group [DW94]
• quasifinite loop space は stably parallelizable manifold のホモトピー型を持つこと [KN]

コンパクトLie群と finite loop space がどれぐらい違うかというのは, Hilton と Roitberg の研究 [HR68; HR69] 以来大きな問題である。Andersen と Bauer と Grodal と Pedersen により, rational homotopy type がどんな compact Lie群とも一致しない finite loop space が構成されている。

\(p\)コンパクト群は Dwyer と Wilkerson により [DW94] で導入された概念であるが, コンパクトLie群にかなり近い性質を持つ。例えば, Tilman Bauer は compact Lie群の場合の Atiyah duality や Adams equivalence が成り立つことも示している。 それを更に推し進めたのが Rognes の [Rog] である。また, Tilman Bauer と Castellana は [BC] で maximal torus による商空間 \(G/T\) についても, Lie群と同様の性質を持つことを示している。

そこで, \(p\)コンパクト群についても Lie群の分類と平行な議論ができないか, という問題が考えられる。\(p\) が奇素数の場合は Andersen と Grodal と Møller と Viruel の [And+08] で分類は完成した, らしい。そこには \(p=2\) の場合の予想も書いてあるが, その場合の分類も完成したようである。Grodal による announcement が [AG] のあと Andersen と Grodal の [AG09] が出た。それらによると, \(p\)コンパクト群は, \(p\)進整数 \(\Z _p\) 上の root data [AG08] で分類されるようである。

これらの \(v_1\)周期的ホモトピー群については, Don Davis が中心になって色々調べている。[BD08; Dav] など。

Castellana と Crespo と Scherer [CCS11]は, \(p\)-compact群よりも広い Noetherian loop space という Hopf空間の class を考えている。

References

[AG]

Kasper K. S. Andersen and Jesper Grodal. The classification of 2-compact groups (talk summary). arXiv: math/0510180.

[AG08]

Kasper K. S. Andersen and Jesper Grodal. “Automorphisms of \(p\)-compact groups and their root data”. In: Geom. Topol. 12.3 (2008), pp. 1427–1460. arXiv: math/0510179. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2008.12.1427.

[AG09]

Kasper K. S. Andersen and Jesper Grodal. “The classification of 2-compact groups”. In: J. Amer. Math. Soc. 22.2 (2009), pp. 387–436. arXiv: math/0611437. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-08-00623-1.

[And+08]

K. K. S. Andersen, J. Grodal, J. M. Møller, and A. Viruel. “The classification of \(p\)-compact groups for \(p\) odd”. In: Ann. of Math. (2) 167.1 (2008), pp. 95–210. arXiv: math/0302346. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2008.167.95.

[BC]

Tilman Bauer and Natalia Castellana. Adjoint spaces and flag varieties of \(p\)-compact groups. arXiv: math/0602418.

[BD08]

Martin Bendersky and Donald M. Davis. “\(v_1\)-periodic homotopy groups of the Dwyer-Wilkerson space”. In: New York J. Math. 14 (2008), pp. 379–392. arXiv: 0706.0993. url: http://nyjm.albany.edu:8000/j/2008/14_379.html.

[CCS11]

Natàlia Castellana, Juan A. Crespo, and Jérôme Scherer. “Noetherian loop spaces”. In: J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 13.5 (2011), pp. 1225–1244. arXiv: 0903.1701. url: https://doi.org/10.4171/jems/279.

[Dav]

Donald M. Davis. Homotopy type and \(v_1\)-periodic homotopy groups of \(p\)-compact groups. arXiv: 0709.3489.

[DW94]

W. G. Dwyer and C. W. Wilkerson. “Homotopy fixed-point methods for Lie groups and finite loop spaces”. In: Ann. of Math. (2) 139.2 (1994), pp. 395–442. url: http://dx.doi.org/10.2307/2946585.

[HR68]

Peter Hilton and Joseph Roitberg. “Note on principal \(S^3\)-bundles”. In: Bull. Amer. Math. Soc. 74 (1968), pp. 957–959. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1968-12103-2.

[HR69]

Peter Hilton and Joseph Roitberg. “On principal \(S^3\)-bundles over spheres”. In: Ann. of Math. (2) 90 (1969), pp. 91–107. url: https://doi.org/10.2307/1970683.

[KN]

N. Kitchloo and D. Notbohm. Quasi finite loop spaces are manifolds. arXiv: math/0209103.

[Rog]

John Rognes. Stably dualizable groups. arXiv: math/0502184.