Categorifications of Numbers

Categorification のアイデアを理解するためには, まずは数の categorification の例を見てみるとよい。

最も基本的な例は有限集合を非負整数の categorification とみなすことである。 Decategorification は, 集合の濃度である。 もう一つの categorification は, 有限次元ベクトル空間の成す category である。 Decategorification は, dimension function である。

• \(\Z _{\ge 0}\) の categorification としての有限集合の category
• \(\Z _{\ge 0}\) の categorification としての有限次元ベクトル空間の成す category

他にも, 対象の集合が自然数あるいは非負整数と1対1に対応する small category は, たくさんある。 ホモトピー論では, まず simplicial object を定義するときの \(\Delta \) があるが, 他にも simplicial object の一般化や変種を定義するときの small category は大抵 \(\Z _{\ge 0}\) あるいは \(\N \) の categorification とみなすことができる。

• simplicial object の一般化

有限集合は, 組み合せ論の基本的な研究対象であり, categorification という言葉が導入される以前から, この視点に基づいた研究は行われてきたようである。例えば Schanuel の [Sch91] の冒頭には

という図式がある。 この図式を可換にするような「負の集合」とは何かというのが, この論文のテーマである。この論文や Propp の [Pro] では, Euclid 空間の中の閉とは限らない 多面体がその候補である。 Decategorification は, Euler標数である。

「負の集合」については, Baez と Dolan の [BD01] の中でも詳しく扱われている。彼らは, ホモトピー論的な group completion を使うことを提案している。

複素数体, ではないがそれに近いものとして \(\Z [\sqrt {-1}]\) の categorification が Tian [Tia16] により monoidal dg category とし て実現されている。Khovanov と Tian [KT19] は, \(\Z [\frac {1}{2}]\) の categorification を構成している。 その論文の最後では, \(\Z [\frac {1}{n}]\) の categorification の候補についても挙げている。 これらは全て, Grothendieck group による categorification である。

• Grothendieck group や \(K\)-theory による categorification

他にも, 自然数 (非負整数) の categorification の例は色々ある。例えば, crossed simplicial group には object が自然数と1対1に対応する圏が associate する。他にも, Cheptea と Habiro と Massuyeau の [CHM08] で現れる functorial LMO invariant の値域の圏などがある。

\(\Q \) の categorification, ではないが, それに近いものを考えようというのが, Diaz と Blandin の [BD08] である。それは, finite groupoid の Euler 標数が有理数として定義できる, ということに基づいている。Joyal の species という概念とも密接に関係している。

• species

それを用いて, 彼らは [BD07] で hypergeometric function の combinatorial interpretation について述べている。

Rational quantum number の categorification が, I. Frenkel と Stroppel と Sussan の [FSS12] で考えられている。

この MathOverflow の質問では, 実数の categorification について聞かれている。回答として, Janelizde と Street の [JS17] や Bartels, Douglas, Henriques の [BDH14] が挙げられている。 無限大 も含めた \([0,\infty ]\) の categorification であるが。

References

[BD01]

John C. Baez and James Dolan. “From finite sets to Feynman diagrams”. In: Mathematics unlimited—2001 and beyond. Berlin: Springer, 2001, pp. 29–50. arXiv: math/0004133.

[BD07]

Héctor Blandín and Rafael Díaz. “On the combinatorics of hypergeometric functions”. In: Adv. Stud. Contemp. Math. (Kyungshang) 14.1 (2007), pp. 153–160. arXiv: math/0606346.

[BD08]

Héctor Blandín and Rafael Díaz. “Rational combinatorics”. In: Adv. in Appl. Math. 40.1 (2008), pp. 107–126. arXiv: math/0606041. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aam.2006.12.006.

[BDH14]

Arthur Bartels, Christopher L. Douglas, and André Henriques. “Dualizability and index of subfactors”. In: Quantum Topol. 5.3 (2014), pp. 289–345. arXiv: 1110.5671. url: https://doi.org/10.4171/QT/53.

[CHM08]

Dorin Cheptea, Kazuo Habiro, and Gwénaël Massuyeau. “A functorial LMO invariant for Lagrangian cobordisms”. In: Geom. Topol. 12.2 (2008), pp. 1091–1170. arXiv: math/0701277. url: https://doi.org/10.2140/gt.2008.12.1091.

[FSS12]

Igor Frenkel, Catharina Stroppel, and Joshua Sussan. “Categorifying fractional Euler characteristics, Jones-Wenzl projectors and \(3j\)-symbols”. In: Quantum Topol. 3.2 (2012), pp. 181–253. arXiv: 1007.4680. url: http://dx.doi.org/10.4171/QT/28.

[JS17]

George Janelidze and Ross Street. “Real sets”. In: Tbilisi Math. J. 10.3 (2017), pp. 23–49. arXiv: 1704.08787. url: https://doi.org/10.1515/tmj-2017-0101.

[KT19]

Mikhail Khovanov and Yin Tian. “How to categorify the ring of integers localized at two”. In: Quantum Topol. 10.4 (2019), pp. 723–775. arXiv: 1702.07466. url: https://doi.org/10.4171/qt/130.

[Pro]

James Propp. Euler measure as generalized cardinality. arXiv: math/0203289.

[Sch91]

Stephen H. Schanuel. “Negative sets have Euler characteristic and dimension”. In: Category theory (Como, 1990). Vol. 1488. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1991, pp. 379–385. url: http://dx.doi.org/10.1007/BFb0084232.

[Tia16]

Yin Tian. “A categorification of the square root of \(-1\)”. In: Fund. Math. 232.1 (2016), pp. 89–98. arXiv: 1411.7709. url: https://doi.org/10.4064/fm232-1-7.