Hypergeometric function と関連した関数

Hypergeometric function (hypergeometric series) は非常に多くの場面で登場するので, 様々な本が出ている。 configuration space との関連では, [Yos97; 吉田正97] がある。当然, hyperplane arrangement とも関係が深い。 Macdonald による手書きのものが type されたものは, [Mac] として入手できる。 「数学」に出た解説では, [Aom93] がある。

代表的なものに dilogarithm があるが, これも様々な扱いがある。反復積分 [河野俊09] として扱うこともできる。Polylogarithm については Lewin の本 [Lew81; Lew91] がある。

• dilogarithm や polylogarithm やその一般化

古典的な Gauss の hypergeometric function は, 様々な特徴付けがあり, その一つに微分方程式の解としてのものがあるが, Gel\('\)fand, Kapranov, Zelevinsky ら [GGZ87; GZK88; GZK89] が, それの一般化を導入している。

• \(A\)-hypergeometric system

Walther [Wal22] は, Saito, Sturmfels, Takayama の [SST00] と Reichelt らの [Rei+21] を参照している。

References

[Aom93]

Kazuhiko Aomoto. “Hypergeometric functions—their past, present, and \(\ldots \)”. In: Sūgaku 45.3 (1993), pp. 208–220.

[GGZ87]

I. M. Gel\('\)fand, M. I. Graev, and A. V. Zelevinskiı̆. “Holonomic systems of equations and series of hypergeometric type”. In: Dokl. Akad. Nauk SSSR 295.1 (1987), pp. 14–19.

[GZK88]

I. M. Gel\('\)fand, A. V. Zelevinskiı̆, and M. M. Kapranov. “Equations of hypergeometric type and Newton polyhedra”. In: Dokl. Akad. Nauk SSSR 300.3 (1988), pp. 529–534.

[GZK89]

I. M. Gel\('\)fand, A. V. Zelevinskiı̆, and M. M. Kapranov. “Hypergeometric functions and toric varieties”. In: Funktsional. Anal. i Prilozhen. 23.2 (1989), pp. 12–26. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01078777.

[Lew81]

Leonard Lewin. Polylogarithms and associated functions. With a foreword by A. J. Van der Poorten. North-Holland Publishing Co., New York-Amsterdam, 1981, pp. xvii+359. isbn: 0-444-00550-1.

[Lew91]

Leonard Lewin, ed. Structural properties of polylogarithms. Vol. 37. Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society, Providence, RI, 1991, pp. xviii+412. isbn: 0-8218-1634-9. url: http://dx.doi.org/10.1090/surv/037.

[Mac]

Ian G. Macdonald. Hypergeometric Functions I. arXiv: 1309.4568.

[Rei+21]

Thomas Reichelt, Mathias Schulze, Christian Sevenheck, and Uli Walther. “Algebraic aspects of hypergeometric differential equations”. In: Beitr. Algebra Geom. 62.1 (2021), pp. 137–203. arXiv: 2004.07262. url: https://doi.org/10.1007/s13366-020-00560-1.

[SST00]

Mutsumi Saito, Bernd Sturmfels, and Nobuki Takayama. Gröbner deformations of hypergeometric differential equations. Vol. 6. Algorithms and Computation in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2000, pp. viii+254. isbn: 3-540-66065-8. url: https://doi.org/10.1007/978-3-662-04112-3.

[Wal22]

Uli Walther. “On Feynman graphs, matroids, and GKZ-systems”. In: Lett. Math. Phys. 112.6 (2022), Paper No. 120, 27. arXiv: 2206.05378. url: https://doi.org/10.1007/s11005-022-01614-2.

[Yos97]

Masaaki Yoshida. Hypergeometric functions, my love. Aspects of Mathematics, E32. Modular interpretations of configuration spaces. Braunschweig: Friedr. Vieweg & Sohn, 1997, pp. xvi+292. isbn: 3-528-06925-2.

[吉田正97]

吉田正章. 私説 超幾何関数 - 対称領域による点配置空間の一意化 (共立講座 21世紀の数学). 共立出版, 1997. isbn: 9784320015760.

[河野俊09]

河野俊丈. 反復積分の幾何学 (シュプリンガー現代数学シリーズ). シュプリンガージャパン, 2009. isbn: 9784431706694.