Dilogarithms, Polylogarithms, and Their Generalizations

\(|z|<1\)の範囲で \[ \sum _{k=0}^{\infty } z^k = \frac {1}{1-z} \] である。よって\(-\log (1-z)\)の原点の周りでの巾級数展開は \[ -\log (1-z) = \sum _{k=0}^{\infty }\frac {z^{k+1}}{k+1} = \sum _{k=1}^{\infty }\frac {z^{k}}{k} \] となる。この右辺に着目し“高次のlogarithm”として \[ \mathrm {Li}_n(z) = \sum _{k=1}^{\infty }\frac {z^{k}}{k^n} \] を考えるというのは古くからあるアイデアである。 Goncharov [Gon93] によると, Leibniz と J. Bernoulli のやり取りの中で導入されたようである。

\(n=2\) の場合を Euler の dilogarithm という。Roger の dilogarithm や Bloch-Wigner dilogarithm など, dilogarithm には, 他にも様々なものが定義されている。

• Euler’s dilogarithm
• Roger’s dilogarithm
• Bloch-Wigner dilogarithm
• Aomoto dilogarithm

Dilogarithm の解説としては, Zagier の [Zag07] がある。 Dilogarithm は, 反復積分 [河野俊09] として扱うこともできる。

この dilogarithm を含んだ polylogarithm は, algebraic \(K\)-theory や 数論など, 現代的な数学の中にも様々な形で現われ, 興味深い対象である。

古典的な polylogarithm については, Hain の [Hai94] などを見るとよい。Lewin の本 [Lew81; Lew91] もある。 Huber と Wildeshaus の [HW] には, algebraic \(K\)-theory との関係も書かれている。 Cluster algebra と dilogarithm との関係については, Nakanishi の [Nak] がある。

Fadeev と Kashaev は [FK94] で parameter \(q\) が入った quantum dilogarithm を定義し, その性質を調べている。Zagier の [Zag07] には quantum dilogarithm についても書かれている。

• quantum dilogarithm

Kashaev は, それを用いて link の不変量を [Kas95; Kas97] で構成している。

Kashaev と Nakanishi [KN11] によると, 他にも quantum dilogarithm は, 以下のようなことに関係しているようである。

• discrete quantum systems
• hyperbolic geometry
• Teichmüller theory
• quantum topology
• Donaldson-Thomas invariants
• string theory
• representation theory of algebras

Polylogarithm の変種としては, Goncharov [Gon95] による multiple polylogarithm もある。

• multiple polylogarithm

References

[FK94]

L. D. Faddeev and R. M. Kashaev. “Quantum dilogarithm”. In: Modern Phys. Lett. A 9.5 (1994), pp. 427–434. arXiv: hep-th/9310070. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0217732394000447.

[Gon93]

A. B. Goncharov. “The classical polylogarithms, algebraic \(K\)-theory and \(\zeta _F(n)\)”. In: The Gel\('\)fand Mathematical Seminars, 1990–1992. Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1993, pp. 113–135.

[Gon95]

Alexander B. Goncharov. “Polylogarithms in arithmetic and geometry”. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. 1, 2 (Zürich, 1994). Basel: Birkhäuser, 1995, pp. 374–387.

[Hai94]

Richard M. Hain. “Classical polylogarithms”. In: Motives (Seattle, WA, 1991). Vol. 55. Proc. Sympos. Pure Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1994, pp. 3–42.

[HW]

Annette Huber and Jörg Wildeshaus. Classical Polylogarithm – Abstract of a series of lectures given at the workshop on polylogs in Essen, May 1 – 4, 1997. arXiv: 1210.2358.

[Kas95]

R. M. Kashaev. “A link invariant from quantum dilogarithm”. In: Modern Phys. Lett. A 10.19 (1995), pp. 1409–1418. arXiv: q-alg/9504020. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0217732395001526.

[Kas97]

R. M. Kashaev. “The hyperbolic volume of knots from the quantum dilogarithm”. In: Lett. Math. Phys. 39.3 (1997), pp. 269–275. arXiv: q-alg/9601025. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1007364912784.

[KN11]

Rinat M. Kashaev and Tomoki Nakanishi. “Classical and quantum dilogarithm identities”. In: SIGMA Symmetry Integrability Geom. Methods Appl. 7 (2011), Paper 102, 29. arXiv: 1104.4630. url: http://dx.doi.org/10.3842/SIGMA.2011.102.

[Lew81]

Leonard Lewin. Polylogarithms and associated functions. With a foreword by A. J. Van der Poorten. North-Holland Publishing Co., New York-Amsterdam, 1981, pp. xvii+359. isbn: 0-444-00550-1.

[Lew91]

Leonard Lewin, ed. Structural properties of polylogarithms. Vol. 37. Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society, Providence, RI, 1991, pp. xviii+412. isbn: 0-8218-1634-9. url: http://dx.doi.org/10.1090/surv/037.

[Nak]

Tomoki Nakanishi. Cluster Algebras and Dilogarithm Identities. arXiv: 2407.06668.

[Zag07]

Don Zagier. “The dilogarithm function”. In: Frontiers in number theory, physics, and geometry. II. Berlin: Springer, 2007, pp. 3–65. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-540-30308-4_1.

[河野俊09]

河野俊丈. 反復積分の幾何学 (シュプリンガー現代数学シリーズ). シュプリンガージャパン, 2009. isbn: 9784431706694.