Operadic Categories and Their Operads

Batanin と Markl は, [BM15] で operadic category という概念を導入した。 基本的な例は, simplicial object を定義するための \(\Delta \) である。

この \(\Delta \) は simplicial object を定義する以外にも様々な用途があるが, Batanin と Markl は, operad を定義するときにも使われていることに気がついた。 簡単に言えば, operadic category とは, そのときに用いる \(\Delta \) の構造を一般化したものである。よって, operadic category 上の operad という operad の一般化が定義できる。当然, その上の algebra も定義できる。

• operad over operadic category

Batanin と Markl は [Mar] で, operadic category の概要をつかむためには, 彼等の [BM23] の section 1 を読むように勧めている。

この \(\Delta \) は, Barwick の operator category [Bar18] でもあるが, Batanin と Markl [BM15] は, operator category から彼等の operadic category が作れることを示している。

• operator category

Markl は次のような一般化も導入している。

• bivariant operadic category [Mar]
• cloven operadic category [Mar25]

References

[Bar18]

Clark Barwick. “From operator categories to higher operads”. In: Geom. Topol. 22.4 (2018), pp. 1893–1959. arXiv: 1302.5756. url: https://doi.org/10.2140/gt.2018.22.1893.

[BM15]

Michael Batanin and Martin Markl. “Operadic categories and duoidal Deligne’s conjecture”. In: Adv. Math. 285 (2015), pp. 1630–1687. arXiv: 1404.3886. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2015.07.008.

[BM23]

Michael Batanin and Martin Markl. “Operadic categories as a natural environment for Koszul duality”. In: Compositionality 5.3 (2023), p. 46. arXiv: 1812.02935. url: https://doi.org/10.32408/compositionality-5-3.

[Mar]

Martin Markl. Bivariant operadic categories. arXiv: 2402.12963.

[Mar25]

Martin Markl. “Cloven operadic categories: an approach to operadic categories with cardinalities in finite unordered sets”. In: Compositionality 7.5 (2025), p. 28. arXiv: 2502.09163. url: https://doi.org/10.46298/compositionality-7-5.