Important Classes of Topological Spaces

位相空間に対する条件では, compact や paracompact や locally compact などの 各種 compact 性, Hausdorff などの 分離公理, そしてこれらの各種 compact 性と分離公理の様々なレベルを組合せたものをよく使う。 もちろん, 各種 連結性も重要である。

ホモトピー論では, compactly generated space の圏で議論することが多い。

• compactly generated space
• 位相空間の族で位相が生成された空間

これら以外にも, 様々な形容詞の付いた位相空間が, 様々な用途で使われている。 このページでは, 様々な文献で目にしたものを集めてみた。

位相をその開集合の成す lattice を用いて調べる, つまり位相空間を locale の一種と考えるというという視点からは, 以下のような条件が考えられている。基本的文献は Johnstone の本 [Joh82] である。

• sober space
• spectral space あるいは coherent space
• Stone space
• locally coherent space [Leh]

Spectral space は, Hochster [Hoc69] により名付けられたものであるが, 同じ条件は topos の理論でも独立に考えられていて, そちらでは coherent topos との関連から coherent space と呼ばれる。それについては, 例えば Lurie の [Lur] の Appendix A を見るとよい。

Hochster は可換環の \(\mathrm {Spec}\) に Zariski topology を入れてできる位相空間を特徴付ける条件として得たので spectral space と名付けた。その中には \(T_{0}\) の条件と sober であるという条件が含まれているが, sober ならば \(T_{0}\) なので \(T_{0}\) は不要である。

Polish space は, 完備かつ可分で距離付け可能な空間のことであるが, 様々な場面で登場する。

• Polish space

Donald Cohn の本 [Coh13] の Chapter 8.1, Kechris の本 [Kec95] の Chapter 3, Tserunyan の lecture notes [Tse] の Part 1 などを見るとよい。これらの文献からも分かるように, descriptive set theory や descriptive combinatorics といった分野で良く使われている。

順序と関係が深いものとして次のものがある。

• finite space
• Alexandroff space

以下は, それ以外に気になったものである。

• profinite space
• Noetherian space [Row24]

References

[Coh13]

Donald L. Cohn. Measure theory. Second. Birkhäuser Advanced Texts: Basler Lehrbücher. [Birkhäuser Advanced Texts: Basel Textbooks]. Birkhäuser/Springer, New York, 2013, pp. xxi+457. isbn: 978-1-4614-6955-1; 978-1-4614-6956-8. url: https://doi.org/10.1007/978-1-4614-6956-8.

[Hoc69]

M. Hochster. “Prime ideal structure in commutative rings”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 142 (1969), pp. 43–60. url: https://doi.org/10.2307/1995344.

[Joh82]

Peter T. Johnstone. Stone spaces. Vol. 3. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, 1982, pp. xxi+370. isbn: 0-521-23893-5.

[Kec95]

Alexander S. Kechris. Classical descriptive set theory. Vol. 156. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1995, pp. xviii+402. isbn: 0-387-94374-9. url: https://doi.org/10.1007/978-1-4612-4190-4.

[Leh]

Georg Lehner. Algebraic \(K\)-theory of coherent spaces. arXiv: 2507.00221.

[Lur]

Jacob Lurie. Spectral Algebraic Geometry. url: https://www.math.ias.edu/~lurie/papers/SAG-rootfile.pdf.

[Row24]

James Rowe. “Noncommutative tensor triangular geometry: classification via Noetherian spectra”. In: Pacific J. Math. 330.2 (2024), pp. 355–371. arXiv: 2308.14661. url: https://doi.org/10.2140/pjm.2024.330.355.

[Tse]

Anush Tserunyan. Introduction to descriptive set theory. url: https://www.math.mcgill.ca/atserunyan/Teaching_notes/dst_lectures.pdf.