Profinite Objects

ある圏の中の “有限なもの達” の cofiltered limit として表されるものを profinite object という。 基本的なのは, 位相空間の圏の中で, 有限集合 (を離散位相で位相空間とみなしたもの) の cofiltered limit として得られる profinite set だろう。

• profinite set or Stone space

Profinite set は, totally disconnected compact Hausdorff space, つまり Stone space と同じものであり, profinite space と呼ばれることもある。 Stone space としては, Johnstone の本 [Joh82] がある。 最近では Scholze らの condensed object の定義で使われている。

他によく目にするのは, 有限群の cofiltered limit である profinite group だろう。

• profinite group

Profinite group は Galois theory や étale homotopy theory など, 様々な場面で登場するので, 本もいくつか出ている。 Ribes の [Rib70], Shatz の [Sha72], Wilson の [Wil98] などがある。Dixon と du Sautoy と Mann と Segal の本 [Dix+99] は pro-\(p\) group に関するものである。 最も最近のものは, Ribes と Zalesskii の [RZ10] だろうか。

他には, Serre の Galois cohomology の本 [Ser94] の最初にもまとめがあるし, Lenstra の Galois category に関する lecture note [Len08] には, 演習問題も含んだ解説がある。

他の代数的構造に対しても profinite 版が定義できる。 例えば, Mazel-Gee と Peterson と Stapleton [MPS15] は profinite ring の 圏を含む piped ring の圏を定義している。

• profinite ring

有限集合に基いた幾何学的な対象は finite space ぐらいであるが, simplicial set を使えば, profinite simplicial set は定義できる。各次数で有限集合になっている simplicial set の圏の pro-object である。あるいは, profinite set の圏での simplicial object と思ってもよい。 Quick [Qui08; Qui11] はそのようなものを profinite space と呼んでいる。

• profinite space

その homotopy theory を展開するためには, profinite homotopy type の概念が必要になる。最初に考えたのは Artin と Mazur [AM86] なのだろうか。もちろん, profinite space の model category や \((\infty ,1)\)-category などが考えられればもっとよい。後者については, やはり Lurie が [Lur] の中で考えている。

Carchedi, Scherotzke, Sibilla, Talpo は [Car+17] の中で topological stack の profinite homotopy type を考えている。その動機は, log scheme の profinite homotopy type を考えることであるが。

References

[AM86]

M. Artin and B. Mazur. Etale homotopy. Vol. 100. Lecture Notes in Mathematics. Reprint of the 1969 original. Springer-Verlag, Berlin, 1986, pp. iv+169. isbn: 3-540-04619-4.

[Car+17]

David Carchedi, Sarah Scherotzke, Nicolò Sibilla, and Mattia Talpo. “Kato-Nakayama spaces, infinite root stacks and the profinite homotopy type of log schemes”. In: Geom. Topol. 21.5 (2017), pp. 3093–3158. arXiv: 1511.00037. url: https://doi.org/10.2140/gt.2017.21.3093.

[Dix+99]

J. D. Dixon, M. P. F. du Sautoy, A. Mann, and D. Segal. Analytic pro-\(p\) groups. Second. Vol. 61. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press, 1999, pp. xviii+368. isbn: 0-521-65011-9. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511470882.

[Joh82]

Peter T. Johnstone. Stone spaces. Vol. 3. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, 1982, pp. xxi+370. isbn: 0-521-23893-5.

[Len08]

Hendrik W. Lenstra. Galois theory for schemes. 2008. url: http://websites.math.leidenuniv.nl/algebra/GSchemes.pdf.

[Lur]

Jacob Lurie. Derived Algebraic Geometry XIII: Rational and \(p\)-adic Homotopy Theory. url: https://www.math.ias.edu/~lurie/papers/DAG-XIII.pdf.

[MPS15]

Aaron Mazel-Gee, Eric Peterson, and Nathaniel Stapleton. “A relative Lubin-Tate theorem via higher formal geometry”. In: Algebr. Geom. Topol. 15.4 (2015), pp. 2239–2268. arXiv: 1308.5435. url: https://doi.org/10.2140/agt.2015.15.2239.

[Qui08]

Gereon Quick. “Profinite homotopy theory”. In: Doc. Math. 13 (2008), pp. 585–612. arXiv: 0803.4082.

[Qui11]

Gereon Quick. “Continuous group actions on profinite spaces”. In: J. Pure Appl. Algebra 215.5 (2011), pp. 1024–1039. arXiv: 0906.0245. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2010.07.008.

[Rib70]

Luis Ribes. Introduction to profinite groups and Galois cohomology. Queen’s Papers in Pure and Applied Mathematics, No. 24. Kingston, Ont.: Queen’s University, 1970, pp. iii+316.

[RZ10]

Luis Ribes and Pavel Zalesskii. Profinite groups. Second. Vol. 40. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics]. Berlin: Springer-Verlag, 2010, pp. xvi+464. isbn: 978-3-642-01641-7. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-01642-4.

[Ser94]

Jean-Pierre Serre. Cohomologie galoisienne. Fifth. Vol. 5. Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 1994, pp. x+181. isbn: 3-540-58002-6. url: https://doi.org/10.1007/BFb0108758.

[Sha72]

Stephen S. Shatz. Profinite groups, arithmetic, and geometry. Annals of Mathematics Studies, No. 67. Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1972, pp. x+252.

[Wil98]

John S. Wilson. Profinite groups. Vol. 19. London Mathematical Society Monographs. New Series. New York: The Clarendon Press Oxford University Press, 1998, pp. xii+284. isbn: 0-19-850082-3.